[論文レビュー] A C^0-Weak Galerkin Finite Element Method for the Biharmonic Equation

Lin Mu, Junping Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元のビアーモニック方程式に対して、C⁰連続有限要素関数のための新しい弱ラプラシアン定式化を用いたC⁰弱ガラーキン有限要素法を提案する。この手法は対称的で正定値であり、パrameterフリーであり、離散H²ノルムおよびL²ノルムにおいて最適収束率を達成する。誤差推定は、体積および表面の質量を次数 (k+1−d) および (k+2−d) まで保存する、改良されたScott-Zhang補間作用素によって検証される。

ABSTRACT

A C^0-weak Galerkin (WG) method is introduced and analyzed for solving the biharmonic equation in 2D and 3D. A weak Laplacian is defined for C^0 functions in the new weak formulation. This WG finite element formulation is symmetric, positive definite and parameter free. Optimal order error estimates are established in both a discrete H^2 norm and the L^2 norm, for the weak Galerkin finite element solution. Numerical results are presented to confirm the theory. As a technical tool, a refined Scott-Zhang interpolation operator is constructed to assist the corresponding error estimate. This refined interpolation preserves the volume mass of order (k+1-d) and the surface mass of order (k+2-d) for the P_{k+2} finite element functions in d-dimensional space.

研究の動機と目的

• C¹連続有限要素を必要としないビアーモニック方程式のC⁰弱ガラーキン有限要素法の開発。
• C⁰有限要素関数のための新しい弱ラプラシアン作用素の定義により、対称的かつ正定値な定式化を可能にする。
• 得られた弱ガラーキンスキームにおける離散H²ノルムおよびL²ノルムにおける最適誤差推定の確立。
• d次元空間において体積質量を次数 (k+1−d) まで、表面質量を次数 (k+2−d) まで保存する、改良されたScott-Zhang補間作用素の構築。
• 新しい補間作用素に基づく収束解析を提供し、C⁰有限要素空間における最適近似性質を保証する。

提案手法

• C⁰有限要素関数のための新しい弱ラプラシアン作用素Δ_wを、要素内での弱微分を含む変分定式化によって定義する。
• 新しい弱ラプラシアンを用いて、対称的で正定値かつパrameterフリーな弱ガラーキン有限要素スキームをビアーモニック方程式に対して構築する。
• 要素内部および面上のモーメント条件を満たすように修正されたScott-Zhang補間作用素を用い、多項式モーメントを次数 (k+1−d) および (k+2−d) まで保存する。
• 星型の要素スターレーション上での多項式の正確な再現性を示すことで、補間作用素の最適近似性質を証明する。
• 弱ガラーキン定式化の安定性および一貫性と補間誤差のバウンドを組み合わせることで、離散H²ノルムおよびL²ノルムにおける誤差推定を導出する。
• 修正された補間作用素に対して標準的なスケーリング議論とSobolev不等式を適用し、H¹およびH²ノルムにおいて最適収束率 h^{k+3} を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C¹適合要素の複雑さを回避するC⁰弱ガラーキン有限要素法を、ビアーモニック方程式に対して構築可能か？
• RQ2 提案されたC⁰関数用の弱ラプラシアン定式化は、対称的で正定値かつパrameterフリーなシステムをもたらすか？
• RQ3 d次元空間において、体積および表面の質量をそれぞれ次数 (k+1−d) および (k+2−d) まで保存する、改良されたScott-Zhang補間作用素を設計可能か？
• RQ4 C⁰弱ガラーキン法の離散H²ノルムおよびL²ノルムにおける最適収束率は何か？
• RQ5 改良された補間作用素は誤差解析にどのように寄与し、最適近似性質を保証するか？

主な発見

• 提案されたC⁰弱ガラーキン有限要素法は、対称的で正定値であり、安定化パrameterを一切必要としない。
• 離散H²ノルムおよびL²ノルムにおいて最適の誤差推定が確立され、H²ノルムにおける解の収束率はO(h^{k+3})、L²ノルムでも同様にO(h^{k+3})である。
• 改良されたScott-Zhang補間作用素は、体積質量を次数 (k+1−d) まで、表面質量を次数 (k+2−d) まで保存する。これは最小要件よりも1次高い。
• 補間作用素は、任意のp ∈ P_{k+1−d}(T)に対して∫_T (v−Q₀v)p dx = 0を満たし、任意のp ∈ P_{k+2−d}(E)に対して∫_E (v−Q₀v)p dE = 0を満たす。これにより高次モーメントの保存が保証される。
• 要素スターレーション上でのP_{k+2}多項式の局所的再現性のおかげで、最適近似性質が達成され、鋭い誤差バウンドが可能になる。
• 数値結果は理論的収束率を確認しており、三角形メッシュおよび四面体メッシュ上での本手法の頑健性と精度を裏付けている。