[論文レビュー] A canonical hyperkaehler metric on the total space of a cotangent bundle

D. Kaledin|ArXiv.org|Nov 30, 2000

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素多様体 $M$ の余接 bundle $T^*M$ の全空間に、以前の研究を簡略化した形で標準的 hyperkähler 計量を構成する。$M$ がヒルベルト対称空間である場合の明示的公式も提示している。主な貢献は、特定の常微分方程式を満たす関数 $f(z)$ を用いた閉形式の hypercomplex 構造の表現であり、これにより $M$ の曲率および接続性質と幾何学的関係が明確化される。構成は Levi-Civita 接続と Weil 代数形式に基づき、零断面近傍での局所的計量として定義される。

ABSTRACT

A canonical hyperkaehler metric on the total space $T^*M$ of a cotangent bundle to a complex manifold $M$ has been constructed recently by the author (see alg-geom/9710026). This paper presents the results of alg-geom/9710026 in a streamlined and simplified form. The only new result is an explicit formula obtained for the case when $M$ is an Hermitian symmetric space.

研究の動機と目的

• 100 ページにわたる論文で当初提示された $T^*M$ 上の標準的 hyperkähler 計量の構成を簡略化・洗練すること。
• $T^*M$ 上の hyperkähler 構造の明確で直感的な幾何的解釈を提供すること。
• $M$ がヒルベルト対称空間である場合の、標準的 hypercomplex 構造の明示的公式を導出すること。
• Biquard よりも前の結果とこの構成との関係を明確にすること。
• 零断面近傍における計量の形式的胚（germ）を提示すること。ただし、その計量が全空間 $T^*M$ に収束するかどうかは未解決の問題であると認める。

提案手法

• 構成は、$M$ 上の Levi-Civita 接続を用い、余接 bundle $T^*M$ 上に Weil 代数形式を適用する。
• 弱い Hodge 導分 $D$ を用い、対称空間では $D_1$ と $D_2$ のみが非ゼロである。
• hypercomplex 構造は、$f(z)$ が $2zf' + f + f^2 = 3z$ を満たし $f(0) = 0$ を満たすとき、行列 $\begin{pmatrix} 0 & f(A)I \\ I(f(A))^{-1} & 0 \end{pmatrix}$ として符号化される。
• $\Theta_{Re}$ は $M$ 上の Levi-Civita 接続 $\nabla$ に付随する線形接続として特定され、構造方程式の簡略化に寄与する。
• 証明は $R_J = f(A)$ を示すことに帰着され、これは $D_+ \circ \sigma = f(A)$ を $\Lambda^1(M,\mathbb{C})$ 上で確認することで達成され、交換子恒等式が用いられる。
• 正規化および曲率条件（$\nabla R = 0$）が利用され、$D$ の奇数次元成分を消去することで、全体の導出が大幅に簡略化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的 hyperkähler 計量 $T^*M$ は、より簡略化され、幾何的に直感的な形で再構成可能か？
• RQ2 ヒルベルト対称空間である場合、hypercomplex 構造を支配する明示的公式は何か？
• RQ3 この構成は、Biquard や Gauduchon による対称空間に関する以前の研究とどのように関係しているか？
• RQ4 常微分方程式 $2zf' + f + f^2 = 3z$ を満たす関数 $f(z)$ は、hypercomplex 構造をどのように符号化しているか？
• RQ5 なぜ計量は零断面近傍での形式的胚にしか定義されないのか？ いつ、それが全空間に収束するのか？

主な発見

• ヒルベルト対称空間である場合、$T^*M$ 上の hypercomplex 構造の明示的公式が得られ、行列 $J = \begin{pmatrix} 0 & f(A)I \\ I(f(A))^{-1} & 0 \end{pmatrix}$ で与えられる。
• 関数 $f(z)$ は初期条件 $f(0) = 0$ を満たす $2zf'(z) + f(z) + f^2(z) = 3z$ の唯一の解であり、これが hypercomplex 構造を支配する。
• ヒルベルト対称空間では、$\nabla R = 0$ が成り立つため、弱い Hodge 導分 $D$ のすべての奇数次元成分 $D_{2p+1}$ が消える。これにより構造が著しく簡略化される。
• $T^*M$ 上の接続 $\Theta_{Re}$ は、$M$ 上の Levi-Civita 接続 $\nabla$ に由来する線形接続と一致し、明確な幾何的解釈が可能になる。
• この構成により、標準計量が零断面近傍での挙動によって一意に定まることが確認されたが、全空間 $T^*M$ への収束性は本稿では未解決のままである。
• 結果は Biquard や Gauduchon のものと形式的に類似しているが、正規化や導かれる関数 $f(z)$ が異なり、同一ではない。