[論文レビュー] The Metric Geometry of the Manifold of Riemannian Metrics over a Closed Manifold

Brian Clarke|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、閉多様体上の滑らかなリーマン計量のフレシェ多様体における$L^2$リーマン計量が、非自明な問題である弱リーマン計量が一介に擬距離を生じるのに対し、真の距離空間構造を誘導することを確立する。主な結果は、点ごとの幾何と体積制御を用いて経路長を評価することで、距離関数が正定値であることを証明し、異なる計量が誘導される距離で分離されることを保証する。

ABSTRACT

We prove that the L^2 Riemannian metric on the manifold of all smooth Riemannian metrics on a fixed closed, finite-dimensional manifold induces a metric space structure. As the L^2 metric is a weak Riemannian metric, this fact does not follow from general results. In addition, we prove several results on the exponential mapping and distance function of a weak Riemannian metric on a Hilbert/Frechet manifold. The statements are analogous to, but weaker than, what is known in the case of a Riemannian metric on a finite-dimensional manifold or a strong Riemannian metric on a Hilbert manifold.

研究の動機と目的

• 閉多様体上の滑らかなリーマン計量の多様体における$L^2$リーマン計量が、弱リーマン計量であるにもかかわらず、真の距離空間構造を誘導することを確立すること。
• 弱リーマン計量が異なる点の間で距離がゼロになる可能性がある（以前の無限次元設定で観察された問題）という挑戦を克服すること。
• $L^2$計量の距離関数の正定値性を、幾何的・解析的推定を用いて直接証明すること。
• Teichmüller空間や一般化されたWeil-Petersson計量のさらなる研究のための基礎的距離幾何を、距離空間$(\mathcal{M}, d)$の完備化によって構築すること。

提案手法

• 対称2次テンソルの点ごとの内積の積分により、フレシェ多様体$\mathcal{M}$上の$L^2$リーマン計量を定義する。
• ホルダーの不等式と体積制御を用いて、経路に沿った接ベクトルの$L^2$ノルムを、ファイバー多様体$\mathcal{M}_x$上の点ごとの距離$\theta^g_x$を含む量によって下から評価する。
• 初期体積と経路長を用いて、任意の滑らかな経路$g_t$に沿った体積$\mathop{\mathrm{Vol}}(M, g_t)$の一様な上界を確立し、測度の$t$依存性を制御する。
• 計量を固定されたバックグラウンド測度$\mu_g$を用いて表現することで、経路長の計算における積分順序を逆転させ、点ごとの距離$\theta^g_x$との比較を可能にする。
• ファイバー$\mathcal{M}_x$内でのパスの長さの下界として、点ごとの距離$\theta^g_x(g_0(x), g_1(x))$の定義（下界の下界）を適用し、全経路長の下界を得る。
• 体積の境界と点ごとの長さの推定を組み合わせることで、$L(g_t) \geq \frac{1}{V} \Theta_M(g_0, g_1)$が成り立つことを示し、ここで$V$は一様な体積の上限、$\Theta_M$は全点ごとの距離である。これにより、$g_0 \neq g_1$のとき$d(g_0, g_1) > 0$が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱リーマン計量であるにもかかわらず、閉多様体上のリーマン計量の多様体における$L^2$リーマン計量が真の距離空間構造を誘導できるか？
• RQ2 この無限次元設定において、異なる計量間の距離関数がゼロにならないために必要な幾何的・解析的条件は何か？
• RQ3 点ごとの幾何と体積制御を用いて、$L^2$計量における経路長を下からどのように評価できるか？
• RQ4 $L^2$計量の非正の断面曲率は、他の弱リーマン多様体で見られるような、異なる点の間で距離がゼロになる病理的現象をどれほど防ぐのか？
• RQ5 全点ごとの距離$\Theta_M(g_0, g_1)$は、グローバル距離$d(g_0, g_1)$を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• $L^2$計量が閉多様体上の滑らかなリーマン計量の多様体$\mathcal{M}$に真の距離空間構造を誘導することを証明した。距離関数は正定値である。
• 任意の異なる$g_0, g_1 \in \mathcal{M}$に対して$d(g_0, g_1) > 0$が成り立つことを示した。これは、経路長が$\frac{1}{V} \Theta_M(g_0, g_1)$によって下から抑えられることを示すことで証明された。ここで$V$は一様な体積の上限である。
• 任意の経路に沿って、体積の上界$\sqrt{\mathop{\mathrm{Vol}}(M, g_t)} \leq \sqrt{\mathop{\mathrm{Vol}}(M, g_0)} + \frac{\sqrt{n}}{2} d(g_0, g_1)$が得られ、測度の歪みが制御されることを保証する。
• 積分順序の逆転と点ごとの距離推定を用いて、鍵となる不等式$L(g_t) \geq \frac{1}{V} \int_M \theta^g_x(g_0(x), g_1(x)) \, d\mu_g$が確立された。
• $L^2$計量の非正の断面曲率が、距離関数がゼロにならない主な理由であることが特定された。これは、ミッチャーとマムフォードの例（曲率の爆発が距離ゼロを引き起こす）とは対照的である。
• この結果により、$L^2$計量が他の弱リーマン多様体（有界でない曲率、異なる点の間で距離がゼロ）の病理的性質を回避することが確認された。