[論文レビュー] A Canonical Laplacian on the Algebra of Densities on a Projectively Connected Manifold

Jacob George|ArXiv.org|Sep 29, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、固定された重み $ \lambda $ のテンソル密度 $ S^{ij} $ を用いて、射影的に接続された多様体上の密度の代数に、ラプラシアンと呼ばれる標準的な2階微分作用素を構成する。この構成により、滑らかな関数上の対称双射作用素（括弧）を、すべての密度の代数へと標準的に拡張でき、既知の射影的等価的量子化の結果を一般化する射影的不変な量子化手続きが得られる。

ABSTRACT

On a manifold with a projective connection we canonically assign a second order differential operator acting on the algebra of all densities to any tensor density $S^{ij}$ of fixed weight $λ$. In particular, this implies that on any projectively connected manifold, a `bracket' (symmetric biderivation) on the algebra of functions extends canonically to the algebra of densities.

研究の動機と目的

• 射影的に接続された多様体上の密度の代数に、標準的な2階微分作用素を構築すること。
• 滑らかな関数上の対称双射作用素（括弧）を、すべての密度の代数へと射影的不変な方法で拡張すること。
• 固定された重み $ \lambda $ の任意のテンソル密度に対して、射影的等価的量子化の概念を一般化すること。
• 構築された作用素を、特に Bouarroudj (2011) の結果と比較し、既存の公式と一致するかを検証すること。
• ベクトルバンドル、スーパemanifold、および高階作用素への一般化を検討すること。

提案手法

• 文献[6]で確立された、射影的類を、多様体上の $ \mathbb{R} $-主バンドルへの線形接続への標準的持ち上げを用いる。
• このバンドル上の滑らかな関数の代数として、すべての密度の代数を表現する。
• 重み $ \lambda $ のテンソル密度 $ S^{ij} $ を用いて、密度の代数上に重み $ \lambda $ の2階微分作用素を構成する。
• 射影的類の係数 $ \Pi^{k}_{ij} $ と Thomas の構成を用い、バンドル上の誘導接続を介して射影的ラプラシアンを定義する。
• グローバル密度 $ \rho $ に関連する接続1形式 $ \gamma_i = -\partial_i \log \rho $ とテンソル密度 $ S^{ij} $ を組み合わせて、密度上の括弧を導出する。
• 得られた作用素を、Bouarroudj (2011) が提示した射影的等価的量子化の明示的公式と比較し、$ \lambda = 0 $ の場合にのみ一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された重み $ \lambda $ のテンソル密度 $ S^{ij} $ を用いて、射影的に接続された多様体上の密度の代数に、標準的な2階微分作用素を定義できるか？
• RQ2 滑らかな関数上の対称双射作用素（括弧）を、射影的不変な方法ですべての密度の代数へと標準的に拡張する方法は何か？
• RQ3 構築されたラプラシアンと、既知の射影的等価的量子化の枠組みとの関係は何か？
• RQ4 $ \lambda $ の共鳴値が同一であるにもかかわらず、なぜ構築された作用素は Bouarroudj (2011) の結果と異なるのか？
• RQ5 この構成を任意のベクトルバンドルおよびスーパemanifold に一般化できるか？

主な発見

• 任意の重み $ \lambda $ のテンソル密度 $ S^{ij} $ を用いて、任意の射影的に接続された多様体上で、重み $ \lambda $ の標準的な2階微分作用素を密度の代数上に構成できる。
• この構成により、$ C^\infty(M) $ 上の任意の対称双射作用素が、すべての密度の代数 $ \mathfrak{V}(M) $ へと射影的不変性を保ちながら標準的に拡張される。
• $ \lambda = 0 $ の場合に限り、Bouarroudj (2011) の明示的公式と一致するが、一般の場合には一致しない。ただし、$ \lambda $ の共鳴値は同一である。
• この作用素は、非ゼログローバル密度によってインデックス付けられる族に属し、その構造はグローバル密度 $ \rho $ から導かれる接続1形式 $ \gamma_i = -\partial_i \log \rho $ に依存する。
• この構成は Thomas の構成および射影的ラプラシアンと整合性があり、2階での射影的等価的量子化の自然な枠組みを提供する。
• この手法は、高階一般化およびベクトルバンドル・スーパemanifold への応用への道筋を示唆するが、これらは未解決の方向である。