[論文レビュー] A Canonical Quadratic Form on the Determinant Line of a Flat Vector Bundle

Maxim Braverman, Thomas Kappeler|ArXiv.org|Oct 5, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、奇数次元の閉じた向き付け可能多様体上の平坦ベクトル bundle の決定線に、解析 torsion を用いて構成される標準的な torsion 2次形式を導入する。この形式は Burghelea-Haller および Cappell-Miller torsion と関連しており、その形式が Cappell-Miller torsion と符号およびオイラー構造に依存する定数因子を除いて一致することを証明する。また、解析的 torsion と組み合わせ的 torsion の関係を、各連結成分におけるユニタリ定数を除いて関係づける予想を確認する。

ABSTRACT

We introduce and study a canonical quadratic form, called the torsion quadratic form, of the determinant line of a flat vector bundle over a closed oriented odd-dimensional manifold. This quadratic form caries less information than the refined analytic torsion, introduced in our previous work, but is easier to construct and closer related to the combinatorial Farber-Turaev torsion. In fact, the torsion quadratic form can be viewed as an analytic analogue of the Poincare-Reidemeister scalar product, introduced by Farber and Turaev. Moreover, it is also closely related to the complex analytic torsion defined by Cappell and Miller and we establish the precise relationship between the two. In addition, we show that up to an explicit factor, which depends on the Euler structure, and a sign the Burghelea-Haller complex analytic torsion, whenever it is defined, is equal to our quadratic form. We conjecture a formula for the value of the torsion quadratic form at the Farber-Turaev torsion and prove some weak version of this conjecture. As an application we establish a relationship between the Cappell-Miller and the combinatorial torsions.

研究の動機と目的

• 奇数次元の閉じた向き付け可能多様体上の平坦ベクトル bundle の決定線に、標準的な2次形式を定義すること。
• Farber-Turaev の Poincaré-Reidemeister スカラー積の正確な解析的類似を確立すること。
• 新しい torsion 2次形式が Burghelea-Haller および Cappell-Miller torsion とどのように関係するかを明らかにすること。
• monodromy およびオイラー構造を用いて、2次形式と Farber-Turaev torsion の関係を示す弱い形の予想を証明すること。
• Cappell-Miller 予想（Cappell-Miller torsion と Reidemeister torsion の関係）に対する部分的解決を提供すること。

提案手法

• 2次形式 τ∇ は、非自己随伴ラプラシアン型作用素のスペクトル論を用いて構成される精製解析 torsion ρan を用いて定義される。
• Cappell-Miller torsion T∇ は、Atiyah-Patodi-Singer の奇数次符号作用素 B 及びその平方 B² を用い、区間 [0,λ] および (λ,∞) へのスペクトル射影を用いて定義される。
• 形式 τ∇ が τ∇(T∇) = 1 を満たすことが示され、これにより Cappell-Miller torsion T∇ と直接的に双対的につながる。
• T∇ の定義における λ に依存しない性質を保証するために、作用素 B² における Agmon 角 θ が用いられる。
• monodromy class Arg∇ ∈ H¹(M, ℂ/ℤ) およびオイラー構造クラス c(ε) ∈ H₁(M, ℤ) を通じて、Farber-Turaev torsion との関係が確立される。
• 決定線上の双対作用素 D を用いて、T∇ と E ⊕ E* の Reidemeister torsion を関連づけ、Cappell-Miller 予想に接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化な双線型形式が存在しない状況下で、平坦ベクトル bundle の決定線に標準的な2次形式をどのように構成できるか。
• RQ2 新しい torsion 2次形式と Cappell-Miller torsion の正確な関係は何か。
• RQ3 torsion 2次形式がどれほど Farber-Turaev の組み合わせ的 torsion を回復できるか。
• RQ4 torsion 2次形式は Burghelea-Haller の複素解析的 torsion とどのように関係するか。
• RQ5 Cappell-Miller 予想が、符号およびユニタリ因子を除いて正確に成立する条件は何か。

主な発見

• torsion 2次形式 τ∇ は τ∇(T∇) = 1 を満たし、τ∇ と Cappell-Miller torsion T∇ の間の直接的な双対性を確立する。
• 各連結成分 𝒞 に対して、予想 τ∇(ρε,ₒ) = R𝒞 · e^{2πi⟨Arg∇, c(ε)⟩} は弱く成立し、R𝒞 ∈ ℂ は単位ノルムを有する。
• Cappell-Miller 予想 (1⊗D)T∇ = (−1)^z ρᴿ(∇⊕∇*) は定数 R𝒞 を除いて成立し、特に ∇ が非退化なヒルベルト接続を含む連結成分にある場合には正確に成立する。
• 非退化な双線型形式 b が存在する場合、予想は符号を除いて成立し、Cappell-Miller 予想に対する部分的結果が確認される。
• torsion 2次形式が Poincaré-Reidemeister スカラー積の解析的類似であることが示され、Farber-Turaev 不変量を精製する。
• Cappell-Miller torsion と Farber-Turaev torsion の正確な関係は、monodromy class Arg∇ およびオイラー構造 c(ε) を通じて確立され、符号因子 (−1)^z を含む。