[論文レビュー] Strict and non strict positivity of direct image bundles

Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ケーラー線形バンドルの歪み付き相対正則バンドルに関連する直接像バンドルの曲率正性を調査する。明示的な曲率公式を用いて、歪み付きラインバンドルが繊維に沿って厳密に正の曲率を持つ場合、直接像バンドルの曲率が厳密に正であるのは、ファイブレーションが非自明（Kodaira-Spencer類が消えない）である場合に限ることを証明する。それ以外の場合は、Kodaira-Spencer類が非ゼロであっても、厳密正の曲率は成立しない。

ABSTRACT

This paper is a sequel to \cite{Berndtsson}. In that paper we studied the vector bundle associated to the direct image of the relative canonical bundle of a smooth Kähler morphism, twisted with a semipositive line bundle. We proved that the curvature of a such vector bundles is always semipositive (in the sense of Nakano). Here we adress the question if the curvature is strictly positive when the Kodaira-Spencer class does not vanish. We prove that this is so provided the twisting line bundle is stricty positive along fibers, but not in general.

研究の動機と目的

• 歪み付き相対正則バンドルに関連する直接像バンドルの曲率が、いつ厳密に正であるかを特定すること。
• 曲率退化の要因としてのKodaira-Spencer類の役割を明確化すること。
• 自明な歪み付きラインバンドルと厳密に正の歪み付きラインバンドルの下での曲率挙動を対比すること。
• 非自明なファイブレーション構造があるにもかかわらず曲率が消える条件を確立すること。
• 曲率公式がWolpertのWeil-Petersson計量に関する既知の結果とどのように関連するかを示すこと。

提案手法

• 滑らかなケーラー線形バンドルの文脈において、$L^2$-計量とNakano正性を用いて、直接像バンドルの明示的曲率公式を導出する。
• ホロモルフィック形式へのベクトル場による作用を通じて、Kodaira-Spencer類の形式的枠組みを適用する。
• 歪み付きラインバンドルの計量$\rho$に付随するベクトル場$V_{\rho}$を用いて、曲率成分を表現する。
• Schumacherの公式を用い、曲率成分$c(\rho)$を、Kodaira-Spencer類を表す$(0,1)$-形式$k_t^{\rho}$のノルムと関連付ける。
• 曲率積分を調和代表元を用いて表現するために、$\Box$-ラプラシアンの逆を用いる。
• 相対正則バンドルにKähler-Einstein計量が存在する場合に特化することで、WolpertのWeil-Petersson計量の公式を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接像バンドルの曲率が厳密に正であるのはどのような条件下か？
• RQ2 Kodaira-Spencer類が非ゼロであっても、曲率が消えることは可能か？
• RQ3 繊維に沿った歪み付きラインバンドルの正性が、曲率の厳密正性にどのように影響するか？
• RQ4 歪み付きバンドルが自明な場合、厳密正性のための幾何的障害は存在するか？
• RQ5 曲率公式を用いて、Weil-Petersson計量に関するWolpertの公式を再現できるか？

主な発見

• 歪み付きラインバンドルが自明な場合、曲率が厳密に正であるのは、Kodaira-Spencer類が非ゼロであるときであり、曲率は$\langle \Theta^E u, u \rangle = \| \mathcal{K}_t . u \|^2$で与えられる。
• 歪み付きラインバンドルが繊維に沿って厳密に正の曲率を持つ場合、Kodaira-Spencer類が非ゼロであれば、直接像バンドルの曲率は常に厳密に正である。
• 例えば、種数≥3のハイパーオービックリーマン面を中央ファイバーとする非自明なファイブレーションの例が存在し、その場合Kodaira-Spencer類は非ゼロだが、すべてのセクションに対して曲率が消える。
• 歪み付きラインバンドルが自明な場合、ファイブレーションが非自明であっても、曲率は退化（厳密に正でない）となることがある。
• 相対正則バンドルにKähler-Einstein計量が存在する場合に特化すると、曲率公式はWolpertのWeil-Petersson計量の公式を回復する。
• 歪み付きラインバンドルが相対的に豊富（繊維に沿って正）である限り、曲率が恒等的に消えるのは、ファイブレーションが無限小的に自明であるときのみである。