[論文レビュー] A central limit theorem for an omnibus embedding of multiple random graphs and implications for multiscale network inference

Keith Levin, Avanti Athreya+4 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Functional Brain Connectivity Studies参考文献 31被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、同一の頂点集合上に存在する複数のランダムグラフを、共有の低次元空間に同時に埋め込むためのオムニバス埋め込み手法を提案する。これにより、同時推定および仮説検定が可能となり、埋め込み頂点に対する中心極限定理を確立することで、2項間のアライメントを必要とせずに、ネットワーク差の原因となる特定の頂点や部分グラフを同定するマルチスケール推論が可能となる。実際の脳結合プロファイル（connectome）データ解析においても、その有効性が示された。

ABSTRACT

Performing statistical analyses on collections of graphs is of import to many disciplines, but principled, scalable methods for multi-sample graph inference are few. Here we describe an "omnibus" embedding in which multiple graphs on the same vertex set are jointly embedded into a single space with a distinct representation for each graph. We prove a central limit theorem for this embedding and demonstrate how it streamlines graph comparison, obviating the need for pairwise subspace alignments. The omnibus embedding achieves near-optimal inference accuracy when graphs arise from a common distribution and yet retains discriminatory power as a test procedure for the comparison of different graphs. Moreover, this joint embedding and the accompanying central limit theorem are important for answering multiscale graph inference questions, such as the identification of specific subgraphs or vertices responsible for similarity or difference across networks. We illustrate this with a pair of analyses of connectome data derived from dMRI and fMRI scans of human subjects. In particular, we show that this embedding allows the identification of specific brain regions associated with population-level differences. Finally, we sketch how the omnibus embedding can be used to address pressing open problems, both theoretical and practical, in multisample graph inference.

研究の動機と目的

• 複数のグラフが同一の頂点集合上で比較される状況において、原理的かつスケーラブルなマルチサンプルグラフ推定手法の不足を解消すること。
• グラフが類似している場合に推定精度を維持し、異なる場合にも識別力を保つ統一的な埋め込みフレームワークの開発。
• グラフ全体、部分グラフ、頂点レベルの複数スケールでの推論を可能にし、ネットワーク間の類似性や差の原因を同定すること。
• グラフを共通のユークリッド空間に埋め込むことで、従来の多変量解析手法と互換性を持つ、下流の統計的解析を容易にすること。
• 重み付き、有向、またはノイズを含むグラフが存在する状況においても、スケーラブルかつロバストな同時推定と仮説検定の解決策を提供すること。

提案手法

• 複数のグラフの隣接行列をブロック接続することでオムニバス行列を構築し、各グラフの行列を繰り返し配置して対称なブロック行列を形成する。
• オムニバス行列に対してスペクトル分解を適用し、各グラフおよび各頂点が共有空間内で一意に表現される低次元の統合埋め込みを取得する。
• すべてのグラフが同一の分布に従うという帰無仮説の下で、埋め込み頂点に対する中心極限定理を証明し、漸近的正規性を確立する。
• 埋め込み頂点の漸近的正規性を活用し、多変量分散分析（MANOVA）を適用することで、複数のグラフ間で有意に差を示す頂点を同定する。
• オムニバス行列の中心化（平均隣接行列の差し引き）を実装することで、差の検出を向上させ、次数の不均一性や共通部分グラフの影響を軽減する。
• オムニバス埋め込みを2項間のプロクラステスアライメント済み埋め込みと比較し、仮説検定および推定精度において優れた性能を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の分布から生成された複数のランダムグラフに対して、帰無仮説（グラフが等しい）の下で最適な推定を達成すると同時に、対立仮説（グラフが異なる）の下で高い検出力を持つ、一括での埋め込み手続きが可能か？
• RQ2 統合埋め込みフレームワークを用いて、グラフの類似性や差を特定の部分グラフや頂点に局所化できるか？
• RQ3 グラフ比較において、2項間のプロクラステスアライメントを排除しつつ、統計的検出力は維持または向上できるか？
• RQ4 オムニバス行列の中心化が、実世界のデータにおけるグラフ差の検出にどの程度寄与するか？
• RQ5 実際およびシミュレートされたネットワークにおいて、オムニバス埋め込みは最先端の手法と比較して、推定精度およびスケーラビリティの面で優れているか？

主な発見

• グラフが同一の分布から生成される場合、オムニバス埋め込みは共通のグラフパラメータについてほぼ最適な推定精度を達成する。
• 埋め込み頂点に対する中心極限定理により、MANOVAを用いてグラフ差の原因となる特定の頂点を同定可能となり、post-hoc Tukey検定のグラフ理論的アナログとして機能する。
• シミュレーションでは、アライメントに起因するノイズが存在しないため、特に中程度のサイズのグラフにおいて、オムニバス埋め込みはプロクラステスベースの検定を上回る性能を示す。
• オムニバス行列の中心化により、次数の不均一性や共通部分グラフの影響が軽減され、類似度行列におけるクラスタリングの質が向上する。
• dMRIおよびfMRIスキャンから得られた脳結合プロファイル（connectome）データにおいて、集団レベルのネットワーク差に関連する特定の脳領域を効果的に同定できた。
• オムニバス埋め込みフレームワークはスケーラブルであり、重み付き、有向、またはノイズを含むグラフにも適用可能で、ユークリッド空間上の古典的推論手法の利用を可能にする。