[論文レビュー] A Central Limit Theorem for Semidiscrete Wasserstein Distances

Eustasio del Barrio, Alberto González-Sanz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、半離散的最適輸送コストにおける中心極限定理（CLT）を確立し、正規化された乖離 $√n\{\mathcal{T}_c(P_n,Q) - \mathcal{W}_c(P,Q)\}$ が中心付きガウス過程の上界に分布収束することを証明する。$Q$ およびコスト関数 $c$ に追加の正則性条件を課すと、この極限過程はガウス分布となる。これにより、最適輸送ポテンシャルに対する初のCLTが得られ、$p \geq 1$ の $p$-ウォッサーシュタイン距離へと拡張される。結果は、双対定式化の2次分析および輸送ポテンシャル写像の正則性に依拠する。

ABSTRACT

We address the problem of proving a Central Limit Theorem for the empirical optimal transport cost, $\\sqrt{n}\\{\\mathcal{T}_c(P_n,Q)-\\mathcal{W}_c(P,Q)\\}$, in the semi discrete case, i.e when the distribution $P$ is finitely supported. We show that the asymptotic distribution is the supremun of a centered Gaussian process which is Gaussian under some additional conditions on the probability $Q$ and on the cost. Such results imply the central limit theorem for the $p$-Wassertein distance, for $p\\geq 1$. Finally, the semidiscrete framework provides a control on the second derivative of the dual formulation, which yields the first central limit theorem for the optimal transport potentials.

研究の動機と目的

• 半離散的設定において、$P$ が有限に支持される場合の経験的最適輸送コストの中心極限定理を確立すること。
• $\sqrt{n}\{\mathcal{T}_c(P_n,Q) - \mathcal{W}_c(P,Q)\}$ の漸近的分布を、双対ポテンシャルによってインデックスづけられた中心付きガウス過程の上界として特徴づけること。
• 双対定式化の2次微分を分析することにより、最適輸送ポテンシャルに対する初のCLTを導出すること。
• 半離散的設定において、$p \geq 1$ の $p$-ウォッサーシュタイン距離へCLTを拡張すること。
• 最適輸送を用いた適合度検定や分布的推論などの統計的応用に対する理論的保証を提供すること。

提案手法

• 著者らは、$P$ が有限に支持され、$Q$ が一般の確率測度である半離散的最適輸送問題を分析する。
• 彼らはカンタロヴィッチ問題の双対定式化を用いて、輸送コストを双対ポテンシャル上の上界として表現する。
• 鍵となるステップは、確率的重みから最適輸送コストへの写像が局所リプシッツ的かつ方向微分可能であることを示すことであり、これにより漸近的解析が可能になる。
• ドゥンスキンの定理およびホイットニーの拡張定理を用いて、双対目的関数を拡張・正則化し、微分可能性の性質を保証する。
• 双対ポテンシャルによってインデックスづけられた経験過程の弱収束を用いて極限分布を導出し、双対変数によってインデックスづけられたガウス過程への収束を示す。
• 双対目的関数の2次微分を制御することで、$Q$ および $c$ に追加の正則性条件が課された下で、極限がガウス的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化された乖離 $\sqrt{n}\{\mathcal{T}_c(P_n,Q) - \mathcal{W}_c(P,Q)\}$ は、半離散的設定において非退化な極限分布に収束するか？
• RQ2 この設定下での経験的最適輸送コストの正確な極限分布の形は何か？
• RQ3 漸近的分布はガウス過程の上界として特徴づけられるか？ また、どのような条件下でそのガウス過程自体がガウス的になるか？
• RQ4 コスト関数およびターゲット測度 $Q$ の正則性は、輸送コストの漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ5 半離散的状況において、$p \geq 1$ の $p$-ウォッサーシュタイン距離へCLTを拡張できるか？

主な発見

• $\sqrt{n}\{\mathcal{T}_c(P_n,Q) - \mathcal{W}_c(P,Q)\}$ の漸近的分布は、双対ポテンシャルによってインデックスづけられた中心付きガウス過程の上界である。
• $Q$ およびコスト $c$ に追加の正則性条件を課すと、極限ガウス過程自体がガウス的となり、明示的な漸近的分布が得られる。
• 本稿は、双対定式化の2次微分を分析することにより、最適輸送ポテンシャルに対する初の中心極限定理を確立する。
• この結果は、半離散的設定において $p \geq 1$ の $p$-ウォッサーシュタイン距離に対するCLTを示唆する。
• 輸送コスト写像が局所リプシッツ的かつ方向微分可能であることが示され、確率過程および関数解析の高度な道具の使用が可能になる。
• 著者らは、双対目的関数が解析的に拡張可能であることを証明し、CLTが成立するための正則性を支持する。