[論文レビュー] A Central Limit Theorem for Wasserstein type distances between two different laws

Philippe Berthet, Jean‐Claude Fort+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℝ上における2つの異なる連続的分布FとGの間の経験的ワサーティン型距離について、可能なかぎり依存するi.i.d.標本からの順序統計量を用いて、中心極限定理（CLT）を確立する。分布およびコスト関数に対する最小限の正則性条件のもとで、推定量の漸近的正規性と一致性を証明し、測度性質𝒫を満たす一般化ワサーティンコストに対して明示的な漸近分散を提供する。

ABSTRACT

This article is dedicated to the estimation of Wasserstein distances and Wasserstein costs between two distinct continuous distributions $F$ and $G$ on $\mathbb R$. The estimator is based on the order statistics of (possibly dependent) samples of $F$ resp. $G$. We prove the consistency and the asymptotic normality of our estimators. \begin{it}Keywords:\end{it} Central Limit Theorems- Generelized Wasserstein distances- Empirical processes- Strong approximation- Dependent samples.

研究の動機と目的

• ℝ上における2つの異なる連続的分布間の一般化ワサーティン距離の、一貫性と漸近的正規性を持つ推定量の開発。
• 標準的なp-ワサーティン距離を超える、凸的および非線形コストを含むワサーティン型コストへの中心極限定理の拡張。
• コンピュータ実験やシミュレーションベース推論で一般的に見られる、FとGからの標本間の依存構造を扱う。
• 累積分布関数およびコスト関数に対する最小限の正則性仮定のもとで、推定量の漸近分散の明示的表現の提供。
• 最小限の仮定のもとで、一次元設定における経験的ワサーティン距離の理論的保証の確立。

提案手法

• 推定量は、FとGからのi.i.d.標本の順序統計量から得られる経験的累積分布関数に基づく。
• ワサーティンコストは測度性質𝒫を介して定義され、分位数関数を含む明示的な積分表現の存在を保証する。
• 密度関数の正則変動およびその微分に関する条件のもとで、結合分位数過程の強近似技術を用いて中心極限定理を導出する。
• 漸近的正則性の性質、特に正則変動および緩やかに変動する関数の使用を通じて、密度関数およびその微分の漸近的挙動を用いて、漸近分散を明示的に計算する。
• 強近似による経験過程の近似および条件（FG）、（C）、（CFG）のもとでの分位数過程の一様収束結果に依存する。
• 経験的推定量の漸近的挙動を制御するために、密度関数およびその微分の正則変動に関する補助的補題を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度関数およびコスト関数に対する最小限の正則性条件のもとで、2つの異なる連続的分布間の経験的ワサーティン距離は、正規分布に分布収束するか？
• RQ2 測度性質𝒫を満たす一般化ワサーティンコストに対して、経験的ワサーティン推定量の漸近分散を明示的に計算できるか？
• RQ3 FとGからの標本間の依存構造は、ワサーティン推定量の漸近分布にどのように影響するか？
• RQ4 FとGの密度関数にどのような条件を課すと、経験的ワサーティン推定量の一致性および漸近的正規性が保証されるか？
• RQ5 中心極限定理は、標準的なp-ワサーティン距離を超える非線形的・凸的コスト関数へ、どの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 条件（FG）、（C）、（CFG）の下で、経験的ワサーティン距離推定量は一貫性を示し、真のワサーティンコストへの確率収束を保証する。
• 推定量は、FとGの密度関数およびコスト関数の結合的挙動に依存する明示的な漸近分散を持つ中心極限定理を満たす。
• 漸近分散は、分位数過程の漸近的挙動および密度関数とその微分の正則変動を介して導出される。
• c(x,y) = |x−y|^p（p ≥ 1）の形をしたコスト関数に対して、漸近分散はFとGの密度関数の観点から明示的に特徴付けられる。
• FとGからの標本が依存している場合でも、この結果は成り立つ。これは、コンピュータ実験におけるシミュレーションベース推論にとって極めて重要である。
• 条件（C2）のもとで、関数ρ(x) = exp(l(x))は凸的（l₁ > 1のとき厳密凸）であることが示され、推定量の漸近的正規性を裏付ける。