[論文レビュー] A characterization of Linearizable instances of the Quadratic Traveling Salesman Problem

Abraham P. Punnen, Walter, Matthias+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、完全有向グラフ上の二次巡回セールスマン問題（QTSP）の線形可能インスタンスを完全に特徴づけ、二次コスト行列 $ Q $ が線形コスト行列 $ C $ に等価であるための必要十分条件を確立する。主な貢献は、線形可能であるかを検証し、存在する場合には線形化を構築する $ \mathcal{O}(n^5) $ 時間のアルゴリズムを提供することであり、その結果は無向グラフに対しても拡張可能である。

ABSTRACT

We consider the linearization problem associated with the quadratic traveling salesman problem (QTSP). Necessary and sufficient conditions are given for a cost matrix $Q$ of QTSP to be linearizable. It is shown that these conditions can be verified in $O(n^5)$ time. Some simpler sufficient conditions for linearization are also given along with related open problems.

研究の動機と目的

• 二次コスト行列 $ Q $ が二次TSP（QTSP）の文脈で線形可能であるための必要十分条件を特定すること。
• 線形可能であるかを検証し、存在する場合には線形化 $ C $ を構築する効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 完全無向グラフへの特徴づけを拡張し、線形可能であるためのより単純な十分条件を同定すること。
• QTSPにおいて線形可能であるための多項式時間証明が存在しないという問題に対処すること。この問題の意思決定版と最適化版の両方がNP困難である。
• 線形可能行列の構造的性質と、二次0-1整数計画問題の強い再定式化への応用を調査すること。

提案手法

• 線形化問題を、すべてのハミルトン閉路 $ \tau $ に対して $ Q[\tau] = C(\tau) $ を満たす線形コスト行列 $ C $ が存在するかどうかを特定することとして定式化する。
• 行列に対して、すべての辺 $ (i,j) $ を含む巡回路が同じコストを持つという「$ (i,j) $-CVP（定値性性質）」を導入し、すべての $ (i,j) $ に対して $ R^{ij} $ が $ (i,j) $-CVP を満たすことが、$ Q $ が線形可能であることの必要十分条件であることを証明する。
• 各辺 $ (i,j) $ の $ (i,j) $-CVP 値を計算することで線形化 $ C $ を構築し、$ c_{ij} = q_{ij} + \sum_{k \in N_i} a_k + \sum_{k \in N_j} b_k $ という式を導出する。この式はCVP特徴づけに基づく。
• $ q_{ijkl} $ を四つの項 $ a_{ijk} + b_{ijl} + d_{ikl} + h_{jkl} $ の和に分解することで、線形可能であるための十分条件を導出し、インデックスの和算により線形化を構築する。
• $ (i,j) $ のすべてのペアについてCVP条件を検証するための $ \mathcal{O}(n^5) $ 時間のアルゴリズムを設計し、行列およびインデックスの操作を活用する。
• 対称な辺ペアに適応することで、CVPおよび分解条件を無向グラフに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次コスト行列 $ Q $ がQTSPにおいて線形可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 $ Q $ の線形可能性は多項式時間で検証可能か？ もし可能であれば、その検証の時間計算量は何か？
• RQ3 実務的応用に適した、より単純で容易に検証可能な十分条件は存在するか？
• RQ4 QTSPにおける線形可能行列の構造的性質は、QAP や二次スパニングツリーなどの他の二次組合せ最適化問題におけるそれらとどのように比較できるか？
• RQ5 この特徴づけは、ホイールやハリン図などの特殊なグラフクラスに拡張可能か？ また、線形可能であるかを可能または不可能にする構造的特徴は何か？

主な発見

• 二次コスト行列 $ Q $ が線形可能であることは、すべての辺 $ (i,j) $ に対して、$ Q $ から導出される行列 $ R^{ij} $ が $ (i,j) $-定値性性質（CVP）を満たすことと同値である。
• $ Q $ の線形可能性は $ \mathcal{O}(n^5) $ 時間で検証可能であり、これは一般のQTSPインスタンスの入力サイズ $ \mathcal{O}(n^4) $ にほぼ線形である。
• 線形化 $ C $ は、各辺のCVP値を用いて同じ $ \mathcal{O}(n^5) $ 時間で明示的に構築可能である。
• 線形可能であるための十分条件として、$ Q $ が弱和行列（weak-sum matrix）であること、すなわち $ q_{ijkl} = a_{ijk} + b_{ijl} + d_{ikl} + h_{jkl} $ を満たすことが挙げられ、これはインデックスの和算により線形可能であることを保証する。
• CVPおよび分解条件を対称な辺ペアに適応することで、この特徴づけは完全無向グラフに直接拡張可能である。
• ホイールのような特殊なグラフでは、巡回路の数が少ないため線形化のための連立方程式系が常に整合的であり、すべての二次コスト行列 $ Q $ が線形可能である。