[論文レビュー] A Class of Binomial Permutation Polynomials

Ziran Tu, Xiangyong Zeng+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、加法的特徴関数の和と極座標表現を用いて、偶数の標数を持つ有限体上での二項順列多項式の基準を提案する。多項式 $ f(x) = x^{d_1} + u_2x^{d_2} $ が順列多項式であるための条件を確立し、特に $ n = 2m $ の場合に、ニホ型指数を持つ新しいクラスの二項および単項完全順列多項式を導出する。

ABSTRACT

In this note, a criterion for a class of binomials to be permutation polynomials is proposed. As a consequence, many classes of binomial permutation polynomials and monomial complete permutation polynomials are obtained. The exponents in these monomials are of Niho type.

研究の動機と目的

• 形式 $ f(x) = x^{d_1} + u_2x^{d_2} $ の二項多項式が $ \mathbb{F}_{2^n} $ 上で順列多項式である一般基準を構築すること。
• 偶数の標数を持つ有限体上での新しいクラスの二項および単項完全順列多項式を同定すること。
• 特に $ d_i \equiv e \pmod{2^{n/2}-1} $ の条件下で、ニホ型指数を有する順列多項式の理解を拡張すること。
• 加法的特徴関数の和と極座標表現が順列行動の分析にどのように応用できるかを検討すること。
• $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 上の三項順列多項式に関する予想を提示し、検証すること（$ m $ が奇数のとき）

提案手法

• 加法的特徴関数に基づく基準を用いる：多項式 $ f $ が $ \mathbb{F}_{2^n} $ 上で順列多項式であるための必要十分条件は、すべての非ゼロ $ \gamma \in \mathbb{F}_{2^n} $ に対して $ \sum_{x \in \mathbb{F}_{2^n}} (-1)^{\operatorname{Tr}_1^n(\gamma f(x))} = 0 $ が成り立つことである。
• 変数変換 $ x \mapsto \delta x $ を適用し、和を $ \sum_{x \in \mathbb{F}_{2^n}} (-1)^{\operatorname{Tr}_1^n(x^{d_1} + w_2 x^{d_2})} $ に簡略化する。ここで $ w_2 = u_2 \delta^{d_1 - d_2} $ である。
• 極座標表現を用いる：$ \mathbb{F}_{2^n} $ の非ゼロ元 $ x $ は、一意に $ x = \lambda y $ と表され、$ \lambda \in U $（$ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ の単位円）、$ y \in \mathbb{F}_{2^m}^* $ となる。
• 指数和を $ U $ 上の解の個数に還元する：$ \sum_{x} (-1)^{\cdots} = (N(w_2) - 1) \cdot 2^m $ となる。ここで $ N(w_2) $ は、$ \lambda^{d_1} + w_2 \lambda^{d_2} + (\lambda^{d_1} + w_2 \lambda^{d_2})^{2^m} = 0 $ を満たす $ \lambda \in U $ の個数である。
• 数論的道具（素数に関する 2 の位数など）を用いて、$ \gcd(2^k + 1, p) $ を分析し、基準の条件を検証する上で重要な役割を果たす。
• 補題 4 を適用して、$ \gcd(2^k + 1, p) = 1 $ となる条件を特定し、完全順列多項式の条件の検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二項多項式 $ f(x) = x^{d_1} + u_2x^{d_2} $ が $ \mathbb{F}_{2^n} $ 上で順列多項式であるための条件は何か？（$ n = 2m $ のとき）
• RQ2 指数 $ d_i \equiv e \pmod{2^{m}-1} $ の構造をどのように活用して、新しいクラスの完全順列多項式を構成できるか？
• RQ3 単位円 $ U = \{ \lambda \in \mathbb{F}_{2^{2m}} : \lambda^{2^m + 1} = 1 \} $ は、順列行動の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 二項式の基準を、類似した指数構造を持つ三項式やそれ以上の次数の多項式へ拡張できるか？
• RQ5 予想される三項式 $ f(x) = x^{2^m + 4} + x^{2^{m+1} + 3} + x^{2^{m+2} + 1} $ および $ g(x) = x^{2^m} + x^{2^{m+1} - 1} + x^{2^{2m} - 2^m + 1} $ は、本当に $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 上で順列多項式であるか？

主な発見

• 基準が確立された：$ f(x) = x^{d_1} + u_2x^{d_2} $ が $ \mathbb{F}_{2^n} $（$ n = 2m $）上で順列多項式であるための必要十分条件は、すべての $ w_2 \in \mathbb{F}_{2^n} $ に対して指数和 $ \sum_{x \in \mathbb{F}_{2^n}} (-1)^{\operatorname{Tr}_1^n(x^{d_1} + w_2 x^{d_2})} = 0 $ が成り立つことである。
• 6つの新しい完全順列多項式のクラスが構成された。特に $ u^{-1}x^d $（$ d = s(2^m - 1) + 1 $）の形で、$ s $、$ m $、および $ u \in U \setminus U^{2^t + 1} $ の条件下で成り立つ。
• 特に $ s = 6 $、$ m $ が奇数かつ $ 5 \nmid m $ のとき、$ u^{-1}x^d $ は $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 上で完全順列多項式である。これは $ \gcd(d, 2^{2m} - 1) = 1 $、$ \gcd(6, 2^m + 1) > 1 $、$ \gcd(5, 2^m + 1) = 1 $ を用いて検証された。
• 三項式 $ f(x) = x^{2^m + 4} + x^{2^{m+1} + 3} + x^{2^{m+2} + 1} $ が $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 上で順列多項式であるという予想は、$ m = 3, 5, 7, 9 $ の場合に検証されたが、一般証明は未解決のままである。
• この方法は、特に $ d = s(2^m - 1) + 1 $ かつ $ s $ が数論的条件を満たす場合に、補題 2 の基準を用いて単項完全順列多項式へも一般化可能である。
• 解析により、方程式 $ \lambda^{d_1} + w_2 \lambda^{d_2} + (\lambda^{d_1} + w_2 \lambda^{d_2})^{2^m} = 0 $ の $ U $ 上の解の個数が指数和、そして結果として順列性を決定することが明らかになった。