[論文レビュー] Permutation polynomials on F_q induced from bijective Redei functions on subgroups of the multiplicative group of F_q

Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、有限体 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上の置換多項式の新しいクラスを、$(Q+1)$ 次単位根の集合への Rédei 有理関数によって誘導される全単射を用いて構成する。特定の三項式形式が、明示的な $\gcd$ 条件のもとで $\mathbb{F}_{Q^2}$ を置換することを証明し、Tu, Zeng, Hu, および Li が提起した置換三項式に関する2つの予想を、$\mathbb{F}_{Q^2}^*$ の部分群の群論的性質と有理関数の共役性に基づく新しい枠組みを用いて解決する。主な貢献は、単位根の集合に作用する有理関数を用いた置換多項式の一般化された生成法であり、古典的な多項式形式を越えるものである。

ABSTRACT

We construct classes of permutation polynomials over F_{Q^2} by exhibiting classes of low-degree rational functions over F_{Q^2} which induce bijections on the set of (Q+1)-th roots of unity in F_{Q^2}. As a consequence, we prove two conjectures about permutation trinomials from a recent paper by Tu, Zeng, Hu and Li.

研究の動機と目的

• Tu, Zeng, Hu, および Li が提起した $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上の置換三項式に関する2つの予想を解決すること。
• 有理関数、特に Rédei 関数を用いて $(Q+1)$ 次単位根の集合への全単射を誘導することにより、置換多項式を構成する新しい手法を開発すること。
• 多項式形式 $x^r h(x^d)$ に従う古典的枠組みを拡張し、単位根上での多項式写像の代わりに有理関数を用いることで、置換多項式の新たなクラスを可能とすること。
• $f(x) = x^{n+k(Q+1)} \cdot \left( (\gamma x^{Q-1}-\beta)^n - \gamma(x^{Q-1}-\gamma^Q\beta)^n \right)$ が $n$, $k$, $Q$ に関する明示的な数論的条件を満たすとき、$\mathbb{F}_{Q^2}$ を置換することを証明すること。
• Rédei 関数の理論と体自己同型を用いて、Tu, Zeng, Hu, および Li の研究の主要結果の一般化されたバージョンを、単純で統一的な証明で再構築すること。

提案手法

• 本手法は、$\mathbb{F}_{Q^2}$ 上の有理関数を構築し、それらが $(Q+1)$ 次単位根の集合 $\mu_{Q+1}$ に全単射を誘導することに依存する。これは、Möbius 変換を介して $x^n$ に共役する一次有理関数を用いる。
• 有理関数が拡張体上での単項式に共役である Rédei 関数の理論を用い、$\mu_{Q+1}$ 上の置換を表現することで、$\mathbb{F}_{Q^2}$ 上の置換多項式の構成を可能にする。
• 中心的な技術は、$\ell(x) = (\delta x - \beta \delta^Q)/(x - \beta)$ という有理関数が $\mu_{Q+1}$ に作用する様子を分析することであり、$\ell(\mu_{Q+1}) = \mathbb{F}_Q \cup \{\infty\}$ であることを示し、置換条件を乗法的位数に還元できるようにする。
• 恒等式 $G(x) = \ell^{-1} \circ x^n \circ \ell(x)$ を用い、有理関数 $G(x)$ が $\mu_{Q+1}$ 上で単射であることを、$\ell(\mu_{Q+1})$ 上で $x^n$ が単射であること、すなわち $\gcd(n, Q-1) = 1$ であることと同値に還元する。
• これらの有理関数の全単射性を、$f(x) = x^{r} h(x^{Q-1})$ の形に持ち上げることで、$\mathbb{F}_{Q^2}$ 上の完全な置換多項式を構成する。ここで $r = n + k(Q+1)$ であり、$h$ は有理関数の分子と分母から得られる。
• Lemma 2.2 を適用し、$\mathbb{F}_{Q^2}$ 上での $x^r h(x^d)$ の置換性を、$x^r h(x)^d$ が $\mu_{(Q^2-1)/d}$ を置換することに還元する。ここでは $d = Q-1$ であるため、焦点は $\mu_{Q+1}$ 上での置換性に集約される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理関数が $(Q+1)$ 次単位根の集合に作用する場合、$\mathbb{F}_{Q^2}$ 上の置換多項式を構成できるか？
• RQ2 形式 $f(x) = x^{n+k(Q+1)} \cdot \left( (\gamma x^{Q-1}-\beta)^n - \gamma(x^{Q-1}-\gamma^Q\beta)^n \right)$ の有理関数が、$\mathbb{F}_{Q^2}$ を置換する条件は何か？
• RQ3 Tu, Zeng, Hu, および Li の研究で予想された置換三項式は真実であり、Rédei 関数に基づく統一的枠組みを用いて証明可能か？
• RQ4 Tu, Zeng, Hu, および Li の論文の主要結果を、体自己同型と有理関数の共役性に基づく、より単純で構造的な方法で一般化・再証明できるか？
• RQ5 $n$, $k$, $Q$ に対する正確な数論的条件は何か？ それらが、このような三項式の置換性を保証する。

主な発見

• $f(x) = x^{n+k(Q+1)} \cdot \left( (\gamma x^{Q-1}-\beta)^n - \gamma(x^{Q-1}-\gamma^Q\beta)^n \right)$ が $\mathbb{F}_{Q^2}$ を置換するための必要十分条件は、$\gcd(n+2k, Q-1) = 1$ かつ $\gcd(n, Q+1) = 1$ である。
• 第二のクラスでは、$f(x) = x^{n+k(Q+1)} \cdot \left( (\delta x^{Q-1}-\beta\delta^Q)^n - \delta(x^{Q-1}-\beta)^n \right)$ に対して、置換条件は $\gcd(n(n+2k), Q-1) = 1$ である。
• 系 1.3 により、$g(x) = x^{k(Q+1)+3} + 3x^{k(Q+1)+Q+2} - x^{k(Q+1)+3Q}$ が $\mathbb{F}_{Q^2}$ を置換するための必要十分条件は、$\gcd(2k+3, Q-1) = 1$ かつ $3 \nmid Q$ である。
• 系 1.4 により、$x^Q + 3x^{2Q-1} - x^{Q^2 - Q + 1}$ はすべての $Q$ に対して $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上の置換多項式であることが確認され、$Q = 2^{2m+1}$ の場合の予想が解決された。
• 本稿は、Tu, Zeng, Hu, および Li の論文の主要結果の一般化されたバージョンを、単純な証明で提示した。$f(x) = x^r h(x^{Q-1})$ が $\mathbb{F}_{Q^2}$ を置換するための必要十分条件は、$\gcd(r, Q-1) = 1$, $\gcd(r-d, Q+1) = 1$, および $h(x)$ が $\mu_{Q+1}$ に零点を持たないことである。
• 特別な場合 $h(x) = x^d + \beta^{-1}$ に対して、$x^{r+d(Q-1)} + \beta^{-1}x^r$ が $\mathbb{F}_{Q^2}$ を置換するための必要十分条件は、$\gcd(r, Q-1) = 1$, $\gcd(r-d, Q+1) = 1$, および $(-\beta)^{(Q+1)/\gcd(Q+1,d)} \neq 1$ である。