[論文レビュー] A Class of Linear Codes With Three Weights

Qiuyan Wang, Fei Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、奇素数 p に対して有限体 𝔽_p 上の新しい線形符号のクラスを、トレース関数と二次乗法的加法的和を用いて構成し、正確に3つの非ゼロ重みを持つ符号を定義する。著者らは、これらの符号の完全な重み分布を導出し、最適または準最適であることを証明し、好ましい重み比の性質により、秘密分散方式や認証コードへの応用が可能であることを示している。

ABSTRACT

Linear codes have been an interesting subject of study for many years. Recently, linear codes with few weights have been constructed and extensively studied. In this paper, for an odd prime p, a class of three-weight linear codes over Fp are constructed. The weight distributions of the linear codes are settled. These codes have applications in authentication codes, association schemes and data storage systems.

研究の動機と目的

• 奇素数 p に対して、正確に3つの非ゼロ重みを持つ 𝔽_p 上の新しい線形符号族の構成。
• 指数和および特徴和を用いて、これらの符号の完全な重み分布を特定すること。
• 符号の最小距離が準最適に達成される条件の確立。
• 秘密分散方式および認証コードにおける符号の応用の探求。
• 最小重みと最大非ゼロ重みの比が (p−1)/p を超えることを証明し、非自明なアクセス構造を持つ秘密分散方式の構築を可能にする。

提案手法

• q = p^m かつ m > 2 のとき、a ∈ 𝔽_p^* に対して定義集合 D_a = {x ∈ 𝔽_q^* : Tr(x) = a} を用いて符号を構成する。
• 符号語はトレース写像を用いて生成される：c_x = (Tr(x d_i^2))（d_i ∈ D_a かつ x ∈ 𝔽_q）。
• 特に標準加法的特徴 χ_1 と二次特徴 η を用いた有限体上の加法的および乗法的特徴を用いて重み分布を計算する。
• ガウス和 G(η, χ_1) とトレース関数に関する重要な恒等式を用いて、各重みの符号語数を評価する。
• m の偶奇に基づく場合分け（m が奇数のとき：定理11、m が偶数のとき：定理12）を行い、異なる重み分布を導出する。
• 特徴の直交性関係と集合 S, T 及びその補集合に関する数え上げ論法を用いて、各重みの正確な重複度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 a ∈ 𝔽_p^* に対して定義集合 D_a = {x ∈ 𝔽_q^* : Tr(x) = a} から構成された線形符号の完全な重み分布は何か？
• RQ2 q = p^m かつ p が奇素数のとき、m の偶奇に応じて、これらの符号のパラメータと重み分布はどのように変化するか？
• RQ3 与えられた長さと次元に対して、これらの符号が準最適な最小距離に達することができるか？
• RQ4 これらの符号は w_min / w_max > (p−1)/p を満たすか？ これにより、非自明なアクセス構造を持つ秘密分散方式の構築が可能になるか？
• RQ5 トレース関数と特徴和から導かれる3重み符号の構造的および暗号的応用は何か？

主な発見

• 奇数の m > 3 に対して、符号 𝒞_{D_a} はパラメータ [p^{m-1}, m, (p−1)p^{m−2} − p^{(m−3)/2}] と重み列挙式 1 + 40x^{19} + 24x^{20} + 60x^{21} を持ち、(p,m,a) = (5,3,1) のとき準最適性を示す。
• 偶数の m > 2 に対して、符号 𝒞_{D_a} はパラメータ [p^{m-1}, m, (p−1)p^{m−2} − p^{(m−2)/2}] と重み列挙式 1 + 240x^{95} + 124x^{100} + 260x^{105} を持ち、(p,m,a) = (5,4,1) のとき成立する。
• 重み分布は完全に特定されており、正確に3つの非ゼロ重みから構成され、m の偶奇に応じた明示的な重複度公式が存在する。
• m ≥ 6 のとき、w_min / w_max が (p−1)/p を超えることが示され、非自明なアクセス構造を持つ秘密分散方式の構築に必要な条件を満たす。
• 構造的な重み分布と最適パラメータのおかげで、符号は認証コードおよび関連付けられた配置（association schemes）への応用が可能であることが示された。
• 例では最小距離が与えられた長さと次元に対する理論的上限から1の差であることが確認され、符号が最適または準最適であることが明らかになった。