[論文レビュー] Linear Codes with Two or Three Weights From Quadratic Bent Functions

Zhengchun Zhou, Nian Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、奇素数 $p$ における有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の二次湾曲関数を用いて、$p$-進線形符号を2重または3重の重みで構成する。重み分布の二次形式の性質とトレース表現を活用することで、これらの符号の正確な重み列挙式を導出し、Griesmer や球詰め境界などの既知の境界に達していることから、いくつかの構成が最適であることを示している。

ABSTRACT

Linear codes with few weights have applications in secrete sharing, authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs. In this paper, several classes of $p$-ary linear codes with two or three weights are constructed from quadratic Bent functions over the finite field $\gf_p$, where $p$ is an odd prime. They include some earlier linear codes as special cases. The weight distributions of these linear codes are also determined.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p$ に対して、$\mathbb{F}_p$ 上の二次湾曲関数から、重みが2つまたは3つの線形符号を構成すること。
• 二次形式およびガウス和の性質を用いて、これらの符号の完全な重み分布を特定すること。
• 構成された符号が、Griesmer 境界や球詰め境界などの既知の境界に達していること、つまり最適であることの証明。
• トレース関数と部分集合の選択に基づく体系的な枠組みを用いて、Ding らの先行研究を一般化・拡張すること。
• 認証や秘密分散への応用を想定し、符号語の明示的トレース表現を提供すること。

提案手法

• 符号の構成の基盤として、$\mathbb{F}_{p^m}$ から $\mathbb{F}_p$ への二次湾曲関数 $Q(x)$ を用いる。
• $\mathrm{Tr}_1^m$ トレース関数と $\overline{D}_Q \subset \mathbb{F}_{p^m}^\times$ という部分集合を用いて、符号 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ を定義する。
• $\mathbb{F}_p$ 上の二次形式の分類を、ランクと座標変換による同値関係に基づき、3つの標準形（I, II, III型）に分ける。
• ガウス和の技法と指標和の恒等式を用いて、$Q(\bar{x}) = \zeta$ を満たす解の個数を計算し、重み分布を特定する。
• 符号語のハミング重みを、$\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}$ に対するトレース表現 $\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x)$ を用いて分析することで、重み列挙式を導出する。
• 二次形式のランクと型を用いて、$m$ が偶数か奇数かに応じて重み分布を区別し、2重重み符号と3重重み符号の異なる重み分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の二次湾曲関数を用いて、正確に2つまたは3つの非ゼロ重みを持つ線形符号を構成できるか？
• RQ2 二次湾曲関数から構成された線形符号の正確な重み分布は何か？
• RQ3 構成された符号は、Griesmer 境界や球詰め境界といった既知の境界に達しており、最適であるか？
• RQ4 二次形式の構造（I型、II型、III型）は、重み分布および符号パラメータにどのように影響を与えるか？
• RQ5 暗号理論および符号理論における実用的応用を想定した場合、符号語のトレース表現を簡略化または明示的に表現できるか？

主な発見

• 奇数の $m$ に対して、符号 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ はパラメータ $\left[\frac{p^{m-1}-1}{p-1}, m\right]$ を持ち、表3に示される重み分布を持つ3重重み符号である。
• 偶数の $m$ に対して、符号 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ はパラメータ $\left[\frac{p^{m-1}-1}{p-1} + \epsilon p^{\frac{m-2}{2}}, m\right]$ を持ち、表4に示される重み分布を持つ2重重み符号である。
• $[40, 5, 24]$ のパラメータを持つ符号は、重み列挙式 $1 + 90z^{24} + 80z^{27} + 72z^{30}$ を持ち、$[40,5]$ の3進符号が最小距離25を持つことは不可能であるため、最適であることが確認された。
• $[10, 4, 6]$ のパラメータを持つ符号は、重み列挙式 $1 + 60z^6 + 20z^9$ を持ち、Griesmer 境界に達しているため最適である。
• $[26, 4, 20]$ のパラメータを持つ符号は、重み列挙式 $1 + 520z^{20} + 104z^{25}$ を持ち、Griesmer 境界に達しているため最適である。
• 本稿では、プロジェクト型幾何符号に関する未解決問題を解決し、$\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ の重み分布が、文献上初めて完全に特定された。