[論文レビュー] A class of locally conformally flat 4-manifolds

Selman Akbulut, Mustafa Kalafat|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ双曲的3次元多様体 $M^3$ の $S^1 \times M^3$ への共形的コンpakティフィケーションを用いて、非単連結で局所的に共形平坦（LCF）な4次元多様体——「パネルド・ウェブ4次元多様体」と呼ばれる——の無限族を構成する。これらの多様体は、無限大に発散するベッチ数、負のオイラー標数、厳密に負のスカラー曲率を示し、アインシュタイン計量をもたないため、単連結でない設定におけるバッハ平坦だがアインシュタインでない4次元多様体の新たな例を提供する。

ABSTRACT

We construct infinite families of non-simply connected locally conformally flat (LCF) 4-manifolds realizing rich topological types. These manifolds have strictly negative scalar curvature and the underlying topological 4-manifolds do not admit any Einstein metrics. Such 4-manifolds are of particular interest as examples of Bach-flat but non-Einstein spaces in the non-simply connected case. Besides that the underlying smooth manifolds are examples of spaces that admit open book decomposition in dimension 4.

研究の動機と目的

• 非単連結で局所的に共形平坦な4次元多様体の、多様で豊かな位相型を有する新しい例を構成すること。
• このような4次元多様体が、$b_1, b_2 \to \infty$ となる無限大のベッチ数と $\chi \to -\infty$ となる負のオイラー標数をもつことを示すこと。
• これらの多様体が厳密に負のスカラー曲率をもち、いかなるアインシュタイン計量とも許されないことを示すこと。
• パネルド・ウェブ群とフレームドリンクを用いたハンドル体の図式による、明示的な幾何学的・位相的構成を提供すること。
• 関連するクライン群の極限集合のハウスドルフ次元を用いて、共形型（負のスカラー曲率）を確立すること。

提案手法

• $M^3$ が境界を持つ双曲的3次元多様体であるとき、$S^1 \times M^3$ の共形的コンパクト化を用い、[Br]の定理1.2を応用して閉じたLCF4次元多様体を構成する。
• パネルド・ウェブ群——マスキーが構成したクライン群——を、双曲的3次元多様体 $M^3$ の均質化群として用いる。
• シューエン＝ヨー–ナヤタニの定理（定理6.3）を適用し、クライン群の極限集合 $\Lambda$ のハウスドルフ次元 $\dim(\Lambda)$ に基づいてスカラー曲率の符号を特定する。
• $\text{sign}(\text{スカラー曲率}) = \text{sign}(1 - \dim(\Lambda))$ の関係を用いて、$\dim(\Lambda) > 1$ のときスカラー曲率が負であることを示す。
• 明示的なハンドル体の図式とフレームドリンク図を用いて、得られた4次元多様体の滑らかな位相を記述する。
• $M^3$ がハンドル体でもトーラスの厚み付けでもない双曲的3次元多様体であるとき、$D(M) \geq 1$ であり、$d(M,g) > 1$ ならば $1 - \dim(\Lambda) < 0$ であるため、スカラー曲率が負である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大のベッチ数をもつ非単連結で局所的に共形平坦な4次元多様体の無限族を構成することは可能か？
• RQ2 このような4次元多様体はアインシュタイン計量をもつのか？ もし持たないならば、その理由は何か？
• RQ3 これらのLCF4次元多様体の自然計量の共形類におけるスカラー曲率の符号は、何によって決定されるか？
• RQ4 クライン群の極限集合のハウスドルフ次元は、得られる4次元多様体のスカラー曲率とどのように関係するか？
• RQ5 これらの4次元多様体の位相は、ハンドル体分解またはフレームドリンク図を用いて明示的に記述可能か？

主な発見

• 本稿は、$b_1, b_2 \to \infty$ および $\chi \to -\infty$ をもつ、閉じた非単連結で局所的に共形平坦な4次元多様体の無限族を構成する。
• スカラー曲率が厳密に負であることは、$\dim(\Lambda) > 1$ を用いたシューエン＝ヨー–ナヤタニの定理により確認された。
• $b_2 \neq 0$ をもつ多様体に対しては、非負のスカラー曲率をもつ局所的に共形平坦な計量は存在しない。
• これらの4次元多様体はアインシュタイン計量をもたない。これは、オイラー標数を計算し、アインシュタイン4次元多様体が特定の位相的制約を満たさねばならないという事実を用いて示された。
• スカラー曲率の符号は $1 - \dim(\Lambda)$ によって決定され、構成された多様体では $\dim(\Lambda) > 1$ であるため、スカラー曲率は厳密に負である。
• 滑らかな位相は明示的なフレームドリンク図とハンドル体の図式によって記述されており、今後の研究のための視覚的かつ計算的ツールを提供する。