[論文レビュー] Contact pairs and locally conformally symplectic structures

Gianluca Bande, D. Kotschick|UNICA IRIS Institutional Research Information System (University of Cagliari)|Jun 2, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、タイプ$(h,0)$の接触対と局所的に可換なシンプレクティック（lcs）構造との間の対応を確立し、$d\alpha + \alpha \land \beta$を介して、このような接触対がlcs形式を導くことを示している。また、正規計量接触対は非ケーラーVaisman構造と同値であり、非負のコルデイラ次元をもつコンパクト複素曲面にVaisman構造が存在するための分類を導き、lcs構造はあるがlcK構造を持たない多様体の新しい例を提供している。

ABSTRACT

We discuss a correspondence between certain contact pairs on the one hand, and certain locally conformally symplectic forms on the other. In particular, we characterize these structures through suspensions of contactomorphisms. If the contact pair is endowed with a normal metric, then the corresponding lcs form is locally conformally Kaehler, and, in fact, Vaisman. This leads to classification results for normal metric contact pairs. In complex dimension two we obtain a new proof of Belgun's classification of Vaisman manifolds under the additional assumption that the Kodaira dimension is non-negative. We also produce many examples of manifolds admitting locally conformally symplectic structures but no locally conformally Kaehler ones.

研究の動機と目的

• タイプ$(h,0)$の接触対と局所的に可換なシンプレクティック（lcs）形式との間の対応を確立すること。
• 円被覆に接触同相自己同型をもつモノドロミーをもつファイブレーションを介して、一般化されたタイプ$(h,0)$の接触対をもつ閉じた多様体を特徴付けること。
• 正規計量接触対を分類し、複素次元2におけるVaisman構造と関連付けること。
• lcs構造をもつが局所的に可換なケーラー（lcK）構造を持たない多様体の例を構成すること。
• 非負のコルデイラ次元を仮定したもとで、BelgunによるVaisman複素曲面の分類を新たに証明すること。

提案手法

• 一般化されたタイプ$(h,0)$の接触対を、$d\beta = 0$ かつ $\alpha \land (d\alpha)^h \land \beta$ が体積形式であるようなペア$(\alpha, \beta)$として定義する。
• リーブ分布$\mathcal{R}$を、$(i_Y d\alpha)|_{\ker \alpha \cap \ker \beta} = 0$ を満たすベクトル場$Y$の集合として定義し、これは滑らかなランク2の分布である。
• リーブベクトル場$A$と$B$を、$\mathcal{R}$に接する一意なベクトル場として定義し、$\alpha(A) = \beta(B) = 1$、$\alpha(B) = \beta(A) = 0$ を満たす。
• タイプ$(h,0)$の接触対から、$\omega = d\alpha + \alpha \land \beta$ としてlcs形式を構成し、$\theta = \alpha$ を用いて$d\omega = \omega \land \theta$ を満たすことを示す。
• ススペンション構成を用いて、一般化されたタイプ$(h,0)$の接触対をもつ閉じた多様体が、接触多様体をファイバーとする円に沿った被覆に、接触同相自己同型をもつモノドロミーをもつことを示す。
• 正規計量接触対（互いに可換な複素構造$J$、$T$と計量$g$をもつ）が、基本形式$d\alpha \pm \alpha \land \beta$ を用いて、非ケーラーVaisman構造とちょうど一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に可換なシンプレクティック形式が、タイプ$(h,0)$の接触対からいつ生じるか。
• RQ2 一般化されたタイプ$(h,0)$の接触対は、接触同相自己同型をもつ円被覆とどのように関係するか。
• RQ3 正規計量接触対とVaisman構造との間の関係は何か。
• RQ4 非負のコルデイラ次元をもつコンパクト複素曲面で、Vaisman構造をもつものはどれか。
• RQ5 lcs構造をもつがlcK構造を持たない多様体を構成できるか。

主な発見

• 一般化されたタイプ$(h,0)$の接触対は、$\omega = d\alpha + \alpha \land \beta$ として局所的に可換なシンプレクティック形式を導き、リー形式は$\theta = \alpha$ である。
• 一般化されたタイプ$(h,0)$の接触対をもつ閉じた多様体は、ちょうど接触多様体をファイバーとする円被覆に、モノドロミーが接触同相自己同型であるようなものに限る。
• タイプ$(h,0)$の正規計量接触対は、非ケーラーVaisman構造と同値であり、基本形式$d\alpha \pm \alpha \land \beta$ が関連するlcs形式である。
• 複素次元2において、本稿は非負のコルデイラ次元を仮定したもとで、BelgunによるVaisman多様体の分類を新たに証明している。
• 著者たちは、$b_1 = 0$ で非ケーラー基本群をもつシンプレクティック4多様体のブロー・アップのツイスター空間を用いて、lcs構造をもつがlcK構造を持たない多様体の例を構成している。
• 非負のコルデイラ次元をもつコンパクト複素曲面にVaisman構造が存在する場合、可能なのは一般型曲面で$\mathbb{H} \times \mathbb{H}$幾何、$b_1$が偶数で$\mathbb{C} \times \mathbb{H}$幾何をもつ正しく楕円的曲面、および$\mathbb{C} \times \mathbb{C}$幾何をもつトーラス／ハイパーエリプティック曲面に限られる。