[論文レビュー] A class of simple weight Virasoro modules

Genqiang Liu, Rencai Lü+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$r \geq 1$ である有限次元可解リー代数 $\mathfrak{a}_r$ 上の既約モジュール $M$ から誘導することで、新しいクラスの単純な重み付きボラソモジュール $\mathcal{N}(M,\alpha)$ を構成する。主な結果は、単純性および同型の必要十分条件であり、それにより無限個の新しい既約重み付きおよび非重み付きボラソモジュールが得られ、特に $\mathbb{C}[x] \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 上の明示的例や、ねじりを用いた非重み付きモジュールが含まれる。

ABSTRACT

For a simple module $M$ over the positive part of the Virasoro algebra (actually for any simple module over some finite dimensional solvable Lie algebras $\mathfrak{a}_r$) and any $α\in\C$, a class of weight modules $\mathcal {N}(M, α)$ over the Virasoro algebra are constructed. The necessary and sufficient condition for $\mathcal {N}(M, \a)$ to be simple is obtained. We also determine the necessary and sufficient conditions for two such irreducible Virasoro modules to be isomorphic. Many examples for such irreducible Virasoro modules with different features are provided. In particular the irreducible weight Virasoro modules $Γ(α_1, α_2, λ_1, λ_2)$ are defined on the polynomial algebra $\C[x]\otimes \C[t, t^{-1}]$ for any $α_1, α_2, λ_1, λ_2\in\C$ with $λ_1$ or $λ_2$ nonzero. By twisting the weight modules $\mathcal {N}(M, α)$ we also obtain nonweight simple Virasoro modules $\mathcal {N}(M, β)$ for any $β\in\C[t,t^{-1}]$.

研究の動機と目的

• 無限次元重み空間をもつ新しい既約重み付きボラソモジュールの大きなクラスを構成すること。
• そのようなモジュールが単純であるための必要十分条件を提供し、それらの同型類を分類すること。
• ねじりを用いることで、非重み付き既約ボラソモジュールへの構成を拡張すること。
• 新しいモジュールが、これまでに知られていたいかなる既約ボラソモジュールとも同型でないことを示すこと。
• 多項式代数上での明示的実現、特に $\Gamma(\alpha_1,\alpha_2,\lambda_1,\lambda_2)$ を提供すること。

提案手法

• 作用 $d_m(v \otimes t^n) = \left(\alpha + n + \sum_{i=0}^r \frac{m^{i+1}}{(i+1)!} \bar{d}_i\right)v \otimes t^{n+m}$ を用いて、$\mathcal{N}(M,\alpha) = M \otimes \mathbb{C}[t^{\pm 1}]$ にボラソ代数のモジュール構造を定義し、$c$ はゼロ作用とする。
• 特に $[d_m, d_k]$ の交換関係を検証することで、$\mathcal{N}(M,\alpha)$ がボラソモジュールであることを証明する。
• $M$ が無限次元既約 $\mathfrak{a}_r$-モジュールであり $r \geq 1$ であるとき、$\mathcal{N}(M,\alpha)$ が単純であることを示す。その際、$M$ の既約性と $d_i$ 演算子の作用を用いる。
• $\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ 演算子を用いて、既存のモジュールとは区別できることを示し、非ゼロのベクトル上で非自明な作用を示す。
• 任意の $\beta \in \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ に対して、重み付きモジュールを $\beta$ を用いてねじることで非重み付きモジュール $\mathcal{N}(M,\beta)$ を構成し、単純性を保つ。
• 既存の族（中間系列、テンソル積、ホイットカー・モジュール、ウェイル・モジュール）と比較し、異なる作用を示すことにより、非同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成されたモジュール $\mathcal{N}(M,\alpha)$ がボラソ代数上で単純であるのはどのような条件下か？
• RQ2 二つのモジュール $\mathcal{N}(M,\alpha)$ と $\mathcal{N}(M',\alpha')$ がボラソモジュールとして同型であるのはいつか？
• RQ3 新しい重み付きモジュール $\mathcal{N}(M,\alpha)$ は、無限次元重み空間をもつ既に知られていた既約ボラソモジュールと同型か？
• RQ4 この構成を非重み付き既約ボラソモジュールに拡張でき、それらが新しいものであるか？
• RQ5 新しいモジュール $\mathcal{N}(M,\beta)$ は、[LZ]、[MW]、[MZ3] に現れる既知の非重み付きモジュールとは異なる作用の恒等式を満たすか？

主な発見

• モジュール $\mathcal{N}(M,\alpha)$ が単純であるのは、$M$ が $\mathfrak{a}_r$ 上の無限次元既約モジュールであり、$r \geq 1$ であり、$\alpha \in \mathbb{C}$ が任意のときである。
• 二つの既約モジュール $\mathcal{N}(M,\alpha)$ と $\mathcal{N}(M',\alpha')$ が同型であるのは、$\mathfrak{a}_r$-モジュールとして $M \cong M'$ かつ $\alpha = \alpha'$ のときである。
• 既約重み付きボラソモジュール $\Gamma(\alpha_1,\alpha_2,\lambda_1,\lambda_2)$ は、$\lambda_1$ または $\lambda_2$ が非ゼロのとき、$\mathbb{C}[x] \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 上に実現可能である。
• 任意の $\beta \in \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ に対して非重み付き既約ボラソモジュール $\mathcal{N}(M,\beta)$ が構成され、$\dim M > 1$ かつ $\beta \notin \mathbb{C}$ のとき、それらが新しいものであることが示された。
• 新しいモジュール $\mathcal{N}(M,\beta)$ は、[LZ] や [MZ3] や [MW] に現れる既知の非重み付きモジュールとは同型でない。これは、$\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ 演算子の作用が異なる恒等式を満たすためである。
• $\mathcal{N}(M,\beta)$ 上での $\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ の作用は、すべての非ゼロベクトル上で非ゼロであるが、[MZ3] や [LZ] に現れる既知のモジュールではゼロとなるため、非同型であることが証明される。