[論文レビュー] A classical approximation scheme for the ground-state energy of Ising spin Hamiltonians on planar graphs

Nikhil Bansal, Sergey Bravyi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2007

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スピン数に線形に、相対誤差εの指数的依存性を示す、平面グラフ上のイジングスピンハミルトニアンの基底状態エネルギーを古典的近似アルゴリズムで計算する手法を提示する。この手法は、正確な計算のNP困難性を回避するために平面グラフ構造を活用し、無限大の次数を持つスターモデルを含む、平面グラフ上の量子イジングスピンガラス問題へも拡張可能である。

ABSTRACT

We describe an efficient approximation algorithm for evaluating the ground-state energy of the classical Ising Hamiltonian with linear terms on an arbitrary planar graph. The running time of the algorithm grows linearly with the number of spins and exponentially with 1/epsilon, where epsilon is the worst-case relative error. This result contrasts the well known fact that exact computation of the ground-state energy for the two-dimensional Ising spin glass model is NP-hard. We also present a classical approximation algorithm for the Local Hamiltonian Problem or Quantum Ising Spin Glass problem on a planar graph with bounded degree which is known to be a QMA-complete problem. Using a different technique we find a classical approximation algorithm for the quantum Ising spin glass problem on the simplest planar graph with unbounded degree, the star graph.

研究の動機と目的

• 任意の平面グラフ上での古典的イジングハミルトニアンの基底状態エネルギーを、効率的な古典的アルゴリズムで近似すること。
• 2次元イジングスピンガラスにおける正確な基底状態エネルギー計算の計算困難性（NP困難）に対処すること。
• 次数が有界な平面グラフ上の量子局所ハミルトニアン問題（QMA完全問題）への近似フレームワークの拡張。
• 次数が無限大である可能性があるスターモデル（平面グラフ）における量子イジングスピンガラス問題に対する古典的近似の提供。
• 平面構造が、本質的に複雑な量子的および古典的スピンガラス問題に対しても、効率的な古典的近似を可能にすることの実証。

提案手法

• スピン数に線形にスケーリングする動的計画法または再帰的分解法を、グラフの平面性を利用して設計する。
• 実行時間が1/εの指数関数的依存性を示す誤差有界近似技術を用い、最悪ケースの相対誤差を制御する。
• ハミルトニアンを古典的シミュレーションに適した形に変換することで、古典的近似フレームワークを量子イジングスピンガラス問題に適応する。
• 径対称性とトポロジカルな単純さを活かし、次数が無限大であるにもかかわらず、スターモデルに対して特別な技術を適用して古典的近似を達成する。
• 統計力学およびグラフ理論の既知の結果を活用して、近似誤差をバインドし、指定された許容誤差内での真の基底状態エネルギーへの収束を保証する。
• グラフの平面性を活用して、解ける小規模な部分問題に問題を分解し、効率的に解きながら再結合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン数に対して超指数的でない実行時間で、平面グラフ上での古典的イジングハミルトニアンの基底状態エネルギーを古典的アルゴリズムが近似可能か？
• RQ2 平面性といった構造的制約を用いることで、2次元イジングスピンガラス問題のNP困難性はどの程度回避可能か？
• RQ3 次数が有界な平面グラフ上での量子イジングスピンガラス問題への古典的近似スキームの拡張は可能か？
• RQ4 次数が無限大である可能性がある、例えばスターモデルのような平面グラフ上での量子イジングスピンガラス問題に対して、古典的近似を設計可能か？
• RQ5 このような古典的スキームにおいて、近似精度（ε）と計算コストのトレードオフはいかなるものか？

主な発見

• アルゴリズムは、スピン数に線形に成長する実行時間で、平面グラフ上での古典的イジングハミルトニアンの基底状態エネルギーを計算する。
• 実行時間は、ε（最悪ケースの相対誤差）の指数関数的依存性を示し、精度と効率の間の調整可能なトレードオフを提供する。
• 平面性を活用することで、2次元イジングスピンガラス問題における正確な基底状態エネルギー計算のNP困難性を効果的に回避する。
• 次数が有界な平面グラフ上での量子イジングスピンガラス問題に対して、古典的近似アルゴリズムが開発された。この問題はQMA完全であることが知られている。
• 次数が無限大である可能性があるスターモデル上での量子イジングスピンガラス問題に対して、別個の古典的近似スキームが構築された。
• 結果は、一般状況では計算が困難な問題に対しても、平面構造が効率的な古典的近似を可能にすることを示している。