[論文レビュー] A closed model structure for $n$-categories, internal $Hom$, $n$-stacks and generalized Seifert-Van Kampen

Carlos Simpson|ArXiv.org|Apr 10, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、$n$-precat（$\Delta^n$ の商上の層で、定数性条件を満たすもの）の閉じたモデル構造を確立し、$n$-nerve の内部 $\underline{Hom}$ の定義を可能にする。これにより、$n$-圏の $(n+1)$-nerve の構成が可能となり、Poincaré $n$-群コホモロジーに対して一般化されたSeifert–van Kampen定理が証明され、非アーベルコホモロジーとカテゴリカルな押し出し（pushout）が結びつけられる。

ABSTRACT

We define a closed model category containing the $n$-nerves defined by Tamsamani, and admitting internal $Hom$. This allows us to construct the $n+1$-category $nCAT$ by taking the internal $Hom$ for fibrant objects. We prove a generalized Seifert-Van Kampen theorem for Tamsamani's Poincaré $n$-groupoid of a topological space. We give a still-speculative discussion of $n$-stacks, and similarly of comparison with other possible definitions of $n$-category.

研究の動機と目的

• $n$-nerve $A$ と $B$ の内部 $\underline{Hom}(A,B)$ を定義し、それが自身 $n$-nerve となるようにする。これにより、すべての $n$-nerve の $(n+1)$-nerve $nCAT$ の構成が可能になる。
• 严格な準同型では高次コホモロジー類（例えば $H^n(G,V)$）を十分に捉えられないという欠陥を、閉じたモデル圏によるホモトピー的枠組みを導入することで解決する。
• $X = U \cup V$ という開被覆に対して、$\Pi_n(X)$ が $\Pi_n(U)$、$\Pi_n(V)$、$\Pi_n(U\cap V)$ のカテゴリカルな押し出しと同値であることを示すことにより、$n$-圏へのSeifert–van Kampen定理の一般化を達成する。
• 繊維的 $n$-precat $A$ に対して非アーベルコホモロジー $H(X,A) := \mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$ を定義し、一般化されたSeifert–van Kampen定理によりMayer–Vietoris性質を満たすことを示す。

提案手法

• $\Theta^n$（$\Delta^n$ の商）上の層としての $n$-precat を導入し、定数性条件を満たすものとし、$PC_n$ と表記する。このカテゴリは極限および内部 $\underline{Hom}$ に関して閉じている。
• $n$-precat 間の弱同値を、ナース関手 $Cat(-)$ を通じて定義する。具体的には、$Cat(A) \to Cat(B)$ がTamsamaniの意味での $n$-nerve の外部同値であることを要請する。
• $PC_n$ 上にモデル構造を構成する。コイディングは単射（最高次元での単射性を除く）とし、ファイブレーション対象は上げ上げ性を満たす。
• Jardine–Joyal の方法を単体的層関手に適用し、自明なコイディングに沿った押し出しは再び自明なコイディングであることを証明し、モデル構造の構成を可能にする。
• Poincaré $n$-圏関手 $\Upsilon_n$ を帰納的に定義する：$\Upsilon_0(X)$ は点から $X$ へのホモトピー類の集合であり、$\Upsilon_n(X)_{m/} := \Upsilon_{n-1}(U_m)$ とし、$U_m$ はファイバー付き単体的対象である。
• $X = \Pi_n(U) \cup_{\Pi_n(U\cap V)} \Pi_n(V)$ にこの構成を適用し、一般化されたSeifert–van Kampen定理をカテゴリカルな押し出しとして導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$-nerve の内部 $\underline{Hom}$ を定義し、それが $n$-nerve の値をとるようにできるか。これにより、すべての $n$-nerve の $(n+1)$-nerve $nCAT$ の構成が可能になるか。
• RQ2 なぜ厳密な準同型では $H^n(G,V)$ のような高次コホモロジー類を十分に捉えられないのか。ホモトピー的アプローチはこの問題をどのように解決するのか。
• RQ3 空間 $X$ のPoincaré $n$-群コホモロジー $\Pi_n(X)$ は、開被覆 $X = U \cup V$ に対して、$\Pi_n(U)$、$\Pi_n(V)$、$\Pi_n(U\cap V)$ のカテゴリカルな押し出しとして分解可能か。これは古典的なSeifert–van Kampen定理の一般化である。
• RQ4 繊維的 $A$ に対して非アーベルコホモロジー $H(X,A)$ を $\mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$ として定義でき、Mayer–Vietoris性質を満たすか。

主な発見

• $n$-precat のカテゴリに、コイディングを単射、弱同値をTamsamaniの $n$-ナース関手 $Cat(-)$ を通じて定義した閉じたモデル構造が構成された。
• 繊維的 $n$-precat $A$ と $B$ の内部 $\underline{Hom}(A,B)$ は適切に定義されており、$n$-nerve を与える。これにより、すべての $n$-nerve の $(n+1)$-nerve $nCAT$ の構成が可能になった。
• 一般化されたSeifert–van Kampen定理が成立する：$\Pi_n(X)$ は $\Pi_n(U)$、$\Pi_n(V)$、$\Pi_n(U\cap V)$ の交差を介したカテゴリカルな押し出しと同値である。
• 非アーベルコホモロジー $H(X,A) := \mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$ は、$\Pi_n(X)$ の押し出し構造のおかげでMayer–Vietoris性質を満たす。
• Poincaré $n$-圏関手 $\Upsilon_n$ は帰納的に定義され、弱同値と積を保存する。これはTamsamaniの $\Pi_n$ を $Top$ に一般化する。
• 本構成により、$\Upsilon_n$ が一般の $n$-圏理論に一般化可能であるためには、追加の条件（例えば押し出しの保存）が必要であることが示された。これは、ホモトピー理論の同値性が一般には成り立たないという制限を示している。