[論文レビュー] A co-reflection of cubical sets into simplicial sets with applications to model structures

Chris Kapulkin, Zachery Lindsey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ストレートネッシング関手を介して単体的集合から立方体的集合（接続付き）への共反射を確立し、クーランのおよびジョイアルのモデル構造といった、クーラン的生成モデル構造の立方体的集合への転送を可能にする。主な貢献は、$(\infty,1)$-圏のホモトピー理論を提示する立方体的集合上の新しいモデル構造の構成であり、立方体的設定におけるこれまでは類例のない、そのようなモデルの初の例である。

ABSTRACT

We show that the category of simplicial sets is a co-reflective subcategory of the category of cubical sets with connections, with the inclusion given by a version of the straightening functor. We show that using the co-reflector, one can transfer any cofibrantly generated model structure in which cofibrations are monomorphisms to cubical sets, thus obtaining cubical analogues of the Quillen and Joyal model structures.

研究の動機と目的

• 単体的集合を接続付き立方体的集合に埋め込む共反射を確立し、モデル構造の転送を可能にする。
• 単体的集合上のクーランおよびジョイアルのモデル構造の立方体的類似を提供する。
• 立方体的集合の圏において$(\infty,1)$-圏のホモトピー理論のモデルを構成する。
• グロテンディークの構成（アンストレート）が単体的集合の立方体的集合への包含関手の共反射子であることを示す。
• 立方体的集合に誘導されたモデル構造が、それに対応する単体的集合のモデル構造とクーラン同値であることを証明する。

提案手法

• 著者らは、単体的集合から接続付き立方体的集合へのストレートネッシング関手$\mathscr{Q}$を定義し、これはアンストレート関手$\int$の完全に忠実な左随伴として機能する。
• 彼らは、グロテンディークの構成を共反射子として用いることで、$\mathscr{Q}$が単体的集合を接続付き立方体的集合の共反射的部分圏として実現することを証明する。
• 文献[HKRS17, GKR18]における右誘導モデル構造の構成法を用い、単体的集合から立方体的集合へのクーラン的生成モデル構造の転送を行う。この際、ファイブレーションがモノモルフィズムである場合に限る。
• 転送は、随伴$\mathscr{Q} \dashv \int$の単位が弱同値であることを確認することに依存し、これは補題3.8によって確立される。
• 得られた立方体的集合上のモデル構造を、既存の$\infty$-群体のグロテンディークモデル構造と比較し、幾何的実現と単体的ホモトピー型を用いてクーラン同値であることを示す。
• 証明は、$\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i$および$\mathrm{T} Q^n$が収縮可能な単体的集合であるという事実に依拠しており、$|\mathrm{T} Q^n| \simeq \Delta^n$および$|\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i| \simeq |\Lambda^n_i|$が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的集合の圏は、接続付き立方体的集合の圏に共反射的部分圏として埋め込めるか？
• RQ2 ストレートネッシング関手は、単体的集合から立方体的集合へのモデル構造の転送を可能にする共反射を誘導するか？
• RQ3 この共反射を用いて、$(\infty,1)$-圏の立方体的モデル構造を構成できるか？
• RQ4 立方体的集合上の結果のモデル構造は、単体的集合上のジョイアルモデル構造とクーラン同値か？
• RQ5 新しい立方体的モデル構造は、$\infty$-群体のためのグロテンディークモデル構造とどのように比較できるか？

主な発見

• ストレートネッシング関手$\mathscr{Q}$は、単体的集合を接続付き立方体的集合に完全に忠実に埋め込み、単体的集合を共反射的部分圏として実現する。
• アンストレート関手$\int$は共反射子として機能し、随伴$\mathscr{Q} \dashv \int$の単位が弱同値であることが補題3.8で示されている。
• 立方体的集合上の右誘導モデル構造は、単体的集合上の元のモデル構造とクーラン同値である。ただし、ファイブレーションがモノモルフィズムである場合に限る。
• 立方体的集合上の結果のモデル構造$\mathsf{cSet}_{IJ}$は、立方体的設定における$(\infty,1)$-圏のホモトピー理論のための、これまでに知られている唯一のモデルである。
• 恒等関手は、$\mathsf{cSet}_{IQ}$（右誘導クーランモデル）と$\mathsf{cSet}_G$（$\infty$-群体のためのグロテンディークモデル）の間のクーラン同値をなす。
• 幾何的実現により、$|\mathrm{T} Q^n| \simeq \Delta^n$および$|\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i| \simeq |\Lambda^n_i|$が成り立ち、誘導されたファイブレーションが弱同値であることが確認される。