[論文レビュー] A comparison between Caputo and Caputo-Fabrizio fractional derivatives for modelling Lotka-Volterra differential equations

Leila Eftekhari, Soleiman Hosseinpour+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2019

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、3次元Lotka-Volterra系のモデリングにおいて、CaputoとCaputo-Fabrizioの分数階微分を比較し、非特異核を持つCaputo-Fabrizio作用素に対して、新しいアダムス・バシフォースに基づく数値手法を導入している。結果として、分数階微分の選択および微分の順序が、系の安定性とダイナミクスに顕著な影響を及ぼすことが示され、特定の条件下ではCaputo-Fabrizioアプローチが向上した数値的安定性を示している。

ABSTRACT

We study distributed lag effects in three-dimensional Lotka-Volterra systems by applying the concept of fractional calculus. We derive a new numerical method that provides enhanced stability for the Caputo-Fabrizio operator based on Adams-Bashforth method, considering non-singular kernel in the definition of Caputo-Fabrizio operator. We investigate the stability conditions of this system with comparisons to the Caputo fractional derivative. Numerical results show that the type of differential operators and the value of orders significantly influence the stability of the numerical solution, and dynamics of the Lotka-Volterra system.

研究の動機と目的

• 3次元Lotka-Volterra系の安定性とダイナミクスに及ぼす分数階微分の種別（Caputo対Caputo-Fabrizio）の影響を調査すること。
• 非特異核を持つCaputo-Fabrizio分数階微分に特化した安定な数値手法を開発すること。
• 分数階微分の順序が、系の長期的挙動および安定性に与える影響を分析すること。
• 生態モデルの文脈において、両者の分数階微分定式化の間での数値的性能および安定性特性を比較すること。

提案手法

• 数値的安定性を確保するために、Caputo-Fabrizio分数階微分を扱えるようにアダムス・バシフォース法を適応させ、系を解くこと。
• Caputo-Fabrizio定義における非特異核を組み込み、集団動態における分散遅れ効果をモデル化すること。
• Caputo-Fabrizio作用素に対して安定性を保証する新しい数値スキームを導出すること、特に変動する分数階順序において有効であるようにすること。
• 両者の定式化（CaputoおよびCaputo-Fabrizio）に基づいて、3次元Lotka-Volterra系をシミュレートするための数値手法を実装すること。
• 異なる分数階順序において、数値スキームの収束性および頑健性を検証するための安定性解析を実施すること。
• 両者の分数階微分モデルから得られる数値解を比較し、系の挙動および安定性における差異を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元Lotka-Volterra系において、CaputoとCaputo-Fabrizioの分数階微分の選択が、数値解の安定性にどのように影響するか？
• RQ2 両者の定式化において、分数階順序を変化させた場合、系のダイナミクスおよび長期的挙動にどのような影響が生じるか？
• RQ3 改変されたアダムス・バシフォース法は、標準的手法と比較して、Caputo-Fabrizio作用素に対してより高い安定性を確保できるか？
• RQ4 分数マクロ計算を用いてモデル化された分散遅れ効果が、この系における捕食者-被捕食者集団の相互作用にどのように影響するか？
• RQ5 CaputoとCaputo-Fabrizio微分を用いた場合、系の軌道に生じる定性的および定量的差異は何か？

主な発見

• 提案されたアダムス・バシフォースに基づく手法を用いたCaputo-Fabrizio微分は、標準的手法と比較して向上した数値的安定性を示している。
• 分数階順序がLotka-Volterra系の安定性および周期的挙動に顕著な影響を及ぼし、異なる順数で明確に異なるダイナミクスが観察された。
• 微分の種別（Caputo対Caputo-Fabrizio）が、解の軌道および収束特性に測定可能な差異をもたらす。
• Caputo-Fabrizio定式化における非特異核は、集団相互作用における分散遅れ効果を効果的にモデル化している。
• 数値シミュレーションにより、微分の種別および微分の順数が、系の安定性および長期的挙動を決定づける重要な要因であることが確認された。
• 提案手法は、テストされたすべての分数階順数において安定性を維持しており、記憶効果を有する生態系のモデリングに信頼性があると示唆している。