[論文レビュー] A comparison between two de Rham complexes in diffeology

Katsuhiko Kuribayashi|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、微分学的多様体における2つのde Rham複体——元々のSouriau複体と特異de Rham複体——を、Čech–de Rhamスペクトル系列およびそれらの間の因子写像を用いて比較する。特異de Rhamコホロジーの第一群 $H^1(A(T_{\theta}))$ が、元々のde Rhamコホロジーと接続1形式を持つ流れバンドルの同値類の群の直和に同型であることを示し、全特異de Rhamコホロジー代数が、元々のコホロジーとこのような流れバンドルによって生成される外積代数のテンソル積に同型であることを示す。

ABSTRACT

There are two de Rham complexes in diffeology. The original one is due to Souriau and the other one is the singular de Rham complex defined by a simplicial differential graded algebra. We compare the first de Rham cohomology groups of the two complexes within the Čech--de Rham spectral sequence by making use of the {\it factor map} which connects the two de Rham complexes. As a consequence, it follows that the singular de Rham cohomology algebra of the irrational torus $T_θ$ is isomorphic to the tensor product of the original de Rham cohomology and the exterior algebra generated by a non-trivial flow bundle over $T_θ$.

研究の動機と目的

• 微分学的多様体における元々のSouriau de Rham複体と特異de Rham複体の第一de Rhamコホロジー群を比較すること。
• 因子写像とČech–de Rhamスペクトル系列を用いて、これらの2つの複体の幾何学的およびコホロロジー的差異を理解すること。
• 無理的トーラス $T_{\theta}$ の特異de Rhamコホロジー代数の構造を調査し、特に流れバンドルとの関係を明らかにすること。
• ホモトピー型が類似しているにもかかわらず、特異de Rhamコホロジーが標準的トーラス $\mathbb{T}^2$ とは異なる理由を明らかにすること。

提案手法

• 本稿では、2つのde Rham複体のコホロジーを比較するためにČech–de Rhamスペクトル系列を用いる。
• 微分形式の代数的構造を保つ因子写像 $\alpha: \Omega(X) \to A(X)$ を用いて、元々の複体と特異複体を関連付ける。
• スペクトル系列の端点写像およびコホロジー上の誘導写像（特に次数2）を用いて分析を行う。
• 証明は、$F$ をバンドルのファイバーとするとき $H^1(A(F)) = 0$ の仮定の下で端点写像の単射性に依存する。
• スペクトル系列の構成には、プロットの生成族と、微分学的空間のネ载体へのモノイド作用を用いる。
• 全空間と基底空間のスペクトル系列を関連付けるために、プロットの多重集合とモノイドの準同型 $\pi'$ を用いて一般化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分学的多様体における元々の複体と特異複体の第一de Rhamコホロジー群はどのように比較できるか？
• RQ2 特に多様体でもなく単連結でもない空間において、2つの複体のコホロジーの差異の幾何的起源は何か？
• RQ3 なぜ無理的トーラス $T_{\theta}$ の特異de Rhamコホロジーには、標準的トーラス $\mathbb{T}^2$ には存在しない非自明な流れバンドル成分が含まれるのか？
• RQ4 一般に因子写像 $\alpha$ が quasi-isomorphism でない程度はどの程度であり、これによりコホロロジー構造にどのような意味が生じるか？
• RQ5 Čech–de Rhamスペクトル系列は、$T_{\theta}$ のコホロジーに非自明な流れバンドルが存在することをどのように検出するのか？

主な発見

• 第一特異de Rhamコホロジー群 $H^1(A(T_{\theta}))$ は、元々のde Rhamコホロジー $H^1(\Omega(T_{\theta})) \cong \mathbb{R}$ と、$T_{\theta}$ 上の接続1形式を持つ流れバンドルの同値類の群の直和に同型である。
• 全特異de Rhamコホロジー代数 $H^*(A(T_{\theta}))$ は、元々のde Rhamコホロジー代数と、$T_{\theta}$ 上の非自明な流れバンドルによって生成される外積代数のテンソル積に同型である。
• 端点写像 $H^2(A(X)) \to \check{H}^2(X)$ は、$H^1(A(F)) = 0$ のとき単射であり、これは無理的トーラスバンドル（ファイバーが $\mathbb{R}$）において成立する。
• スペクトル系列の解析により、基底空間 $M$ 上の $\Omega$-複体における $d_2$ の非自明性は、$H^1(\Omega(M))$ が非ゼロである限り矛盾を引き起こすが、これは $T_{\theta}$ では成立しないので、新たなコホロジー類の存在が確認される。
• 特異de Rhamコホロジー $H^*(A(T_{\theta}))$ は、代数として $H^*(A(\mathbb{T}^2))$ と同型であるが、$H^*(A(T_{\theta}))$ に非自明な流れバンドルが存在するのに対し、$H^*(A(\mathbb{T}^2))$ ではファイバーの収縮性によりこのようなバンドルは自明であるため、両者は区別される。
• 因子写像 $\alpha$ は任意の微分学的空間 $X$ に対して $H^1(\Omega(X)) \to H^1(A(X))$ を単射に誘導する。$T_{\theta}$ ではこの単射が厳密であるため、特異複体が元々の複体では見えない追加のコホロロジー構造を検出できていることが示される。