[論文レビュー] The homotopy theory of diffeological spaces

J. Daniel Christensen, Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、滑らかさの単体的集合の構成を用いて、微分可能空間のホモトピー理論を確立し、ファイブレーションである微分可能空間がその単体的ホモトピー群を通じて滑らかなホモトピー的データを捉えていることを示している。これは、多様体の古典的な滑らかなホモトピー理論を一般化し、イグレシアス＝ツェンムールの微分可能バンドル理論を拡張するものであり、多様体のループ空間がファイブレーションであることを証明し、関手的なコブランチ補完を提供する。

ABSTRACT

Diffeological spaces are generalizations of smooth manifolds. In this paper, we study the homotopy theory of diffeological spaces. We begin by proving basic properties of the smooth homotopy groups that we will need later. Then we introduce the smooth singular simplicial set $S^D(X)$ associated to a diffeological space $X$, and show that when $S^D(X)$ is fibrant, it captures smooth homotopical properties of $X$. Motivated by this, we define $X$ to be fibrant when $S^D(X)$ is, and more generally define cofibrations, fibrations and weak equivalences in the category of diffeological spaces using the smooth singular simplicial set functor. We conjecture that these form a model category structure, but in this paper we assume little prior knowledge of model categories, and instead focus on concrete questions about smooth manifolds and diffeological spaces. We prove that our setup generalizes the naive smooth homotopy theory of smooth manifolds by showing that a smooth manifold without boundary is fibrant and that for fibrant diffeological spaces, the weak equivalences can be detected using ordinary smooth homotopy groups. We also show that our definition of fibrations generalizes Iglesias-Zemmour's theory of diffeological bundles. We prove enough of the model category axioms to show that every diffeological space has a functorial cofibrant replacement. We give many explicit examples of objects that are cofibrant, not cofibrant, fibrant and not fibrant, as well as many other examples showing the richness of the theory. For example, we show that the free loop space of a smooth manifold is fibrant. One of the implicit points of this paper is that the language of model categories is an effective way to organize homotopical thinking, even when it is not known that all of the model category axioms are satisfied.

研究の動機と目的

• 微分可能空間のホモトピー理論を、多様体の滑らかなホモトピー理論に一般化すること。
• 滑らかな単体的集合関手を用いて、ファイブレーション、コブランチ、弱同値である微分可能空間を定義すること。
• モデルカテゴリに類似した枠組みの中で、イグレシアス＝ツェンムールの微分可能バンドル理論を拡張すること。
• 境界のない滑らかな多様体がファイブレーションであり、そのホモトピー群が弱同値を検出できることを示すこと。
• ファイブレーションでない空間の明示的例（ループ空間や商空間を含む）を提供すること。

提案手法

• 微分可能空間 $ X $ から非コンパクトな $ n $-単体 $ \Delta^n $ への滑らかな写像の集合として、滑らかな単体的集合 $ S^D(X) $ を定義し、単体的集合を形成する。
• 標準的な単体的集合のモデル構造において $ S^D(X) $ がファイブレーションであるような微分可能空間をファイブレーションであると定義する。
• 滑らかな単体的集合関手を用いて弱同値とファイブレーションを定義し、滑らかな多様体やバンドルからの古典的概念を一般化する。
• 単体的集合のモデルカテゴリの言語を用いて、コブランチとコブランチ補完を定義し、関手的なコブランチ補完の存在を証明する。
• 合成法則を適用し、偏微分を計算することで、非負実数値関数への滑らかな写像を解析し、非ファイブレーションを示す矛盾に至る。
• 滑らかな再帰的写像と商微分可能構造を用いて、$ \mathbb{R}^{\geq 0} \times \mathbb{R}^n $、$ \mathbb{R}^n / O(n) $、および有限群作用の軌道空間が非ファイブレーションであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな単体的集合 $ S^D(X) $ が微分可能空間 $ X $ の滑らかなホモトピー群をいつ捕捉するか？
• RQ2 境界のない滑らかな多様体は、提案されたホモトピー理論においてファイブレーションか？
• RQ3 提案された枠組みは、イグレシアス＝ツェンムールの微分可能バンドル理論を一般化するか？
• RQ4 ファイブレーションである微分可能空間間の弱同値は、通常の滑らかなホモトピー群によって検出可能か？
• RQ5 どの商空間や特異空間がファイブレーションでなく、その理由は何か？

主な発見

• 境界のない滑らかな多様体はファイブレーションであり、このような空間では弱同値が通常の滑らかなホモトピー群によって検出可能である。
• 滑らかな多様体の自由および基点付きループ空間は、ファイブレーションである微分可能空間である。
• 滑らかな単体的集合 $ S^D(X) $ がファイブレーションであることは、その単体的ホモトピー群が $ X $ の滑らかなホモトピー群と一致することと同値であり、定理 4.11 で証明されている。
• 境界付きまたは角を持つ多様体のように、$ \mathbb{R}^{\geq 0} \times \mathbb{R}^n $ を $ D $-開部分集合として含む空間はファイブレーションでない。
• $ \mathbb{R}^n / O(n) $ は $ [0,\infty) $ と微分可能構造が同相であり、これはファイブレーションでない。
• 列挙極限 $ X_\infty = \varinjlim X_n $（ここで $ X_n = \mathbb{R}^n / O(n) $）はファイブレーションでなく、その微分可能構造は $ \mathbb{R} $ の部分微分可能構造とは異なる。