[論文レビュー] A compressed classical description of quantum states

David Gosset, John A. Smolin|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ランダムな安定化状態との内積を格納することにより、nキュービットの量子状態をO(√(2ⁿ))古典ビットで表現する古典的圧縮方式を提示する。この手法により、任意の観測量の期待値を高い確率で効率的に近似可能であり、全状態記述と比較して指数的メモリ節約を達成する一方で、O(2ⁿ poly(n))の時間で実行される。

ABSTRACT

We show how to approximately represent a quantum state using the square root of the usual amount of classical memory. The classical representation of an $n$-qubit state $ψ$ consists of its inner products with $O(\sqrt{2^n})$ stabilizer states. A quantum state initially specified by its $2^n$ entries in the computational basis can be compressed to this form in time $O(2^n \mathrm{poly}(n))$, and, subsequently, the compressed description can be used to additively approximate the expectation value of an arbitrary observable. Our compression scheme directly gives a new protocol for the vector in subspace problem with randomized one-way communication complexity that matches (up to polylogarithmic factors) the optimal upper bound, due to Raz. We obtain an exponential improvement over Raz's protocol in terms of computational efficiency.

研究の動機と目的

• 全状態記述に必要な2ⁿ個の振幅と比較して、著しく小さいサイズの古典的量子状態表現を開発すること。
• 事前に特定の観測量の集合を固定せずに、任意の観測量の近似期待値を効率的に計算できること。
• O(2ⁿ poly(n))時間で実行される圧縮方式を実現し、大規模な量子系に対して計算的に実用的であること。
• Razの部分空間内ベクトル問題における通信複雑度の下界（多項式対数因子を除いて）を達成しつつ、計算効率を向上させること。

提案手法

• 圧縮アルゴリズムは、目的の量子状態|ψ⟩とO(√(2ⁿ))個のランダムに選ばれた安定化状態との内積を計算する。
• 古典的記述はこれらの内積から構成され、サイズO(√(2ⁿ))ビットの圧縮表現D(ψ, ε, p)を形成する。
• 期待値はランダムな安定化状態スケッチを用いて推定される：各スケッチに対して、状態との重なりを計算し、⟨ψ|M|ψ⟩の推定に用いる。
• 最終的な推定値は、複数の独立な推定値の中央値を取ることで得られ、Chernoffの不等式により失敗確率を低減する。
• 推定子の分散の上限は、Clifford群が2-デザインをなすこととSchurの補題の性質を用いて導出され、測度の集中を保証する。
• Haarのランダム性とユニタリ2-デザインの性質を活用して、推定精度に関する統計的保証を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の観測量の期待値を近似可能に保ちながら、O(√(2ⁿ))古典ビットに量子状態を圧縮することは可能か？
• RQ2 O(2ⁿ poly(n))時間でそのような圧縮表現を計算可能であり、大規模シミュレーションに実用的であるか？
• RQ3 Razの最適プロトコルと同等の通信複雑度を達成しつつ、計算効率を向上させられるか？
• RQ4 指数的でない数の安定化状態を用いて、推定誤差を高い確率で有界にできるか？

主な発見

• 圧縮表現はO(√(2ⁿ))古典ビットを用い、全2ⁿ振幅記述と比較して指数的メモリ削減を達成する。
• 圧縮アルゴリズムはO(2ⁿ poly(n))時間で実行され、大規模な量子回路のシミュレーションに実用的である。
• O(√(2ⁿ))の古典的メモリを用いて、任意の観測量の期待値を誤差≤ε、失敗確率≤pで加法的に近似可能である。
• n = 50キュービットの場合、k = 35を選び、誤差ε ≈ 0.0039、メモリ節約率2¹⁴ = 16,384を達成する。
• 推定子の分散はClifford群の2-デザイン性を用いて有界にされ、Chernoffの不等式により複数の推定値の中央値を取ることで失敗確率pに低減される。
• 本手法はRazの1方向通信複雑度の下界（多項式対数因子を除いて）を達成し、部分空間内ベクトル問題に対する計算的に効率的なプロトコルを提供する。