[論文レビュー] A conforming discontinuous Galerkin finite element method: Part II

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、高次多項式近似を用いた新しい弱勾配作用素 ∇w を導入することで、一般の多面体メッシュに対する適合型不連続ガラーキン（DG）有限要素法を拡張する。安定化項やペナルティ項を必要とせず、離散 H¹ および L² 範囲で最適収束率を達成する。これは、非構造的多角形／多面体メッシュにおける2次楕円型問題に対して、単純で安定的かつ柔軟な定式化を提供する。

ABSTRACT

A conforming discontinuous Galerkin (DG) finite element method has been introduced in [21] on simplicial meshes, which has the flexibility of using discontinuous approximation and the simplicity in formulation of the classic continuous finite element method. The goal of this paper is to extend the conforming DG finite element method in \cite{cdg1} so that it can work on general polytopal meshes by designing weak gradient $ abla_w$ appropriately. Two different conforming DG formulations on polytopal meshes are introduced which handle boundary conditions differently. Error estimates of optimal order are established for the corresponding conforming DG approximation in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented to confirm the theory.

研究の動機と目的

• 元来単体メッシュ用に開発された適合型DG有限要素法を、一般の多面体メッシュに拡張すること。
• 離散空間 V_h における弱ガラーキン定式化 (5) の単純さを保ちつつ、非構造的多角形／多面体要素上でも最適収束を確保すること。
• 弱勾配作用素 ∇w を高次多項式を用いて巧みに設計することで、安定化項やペナルティ項の必要性を排除すること。
• ディリクレ境界条件を、強制的および弱的（数値フラックスを用いて）の2つの異なる定式化で取り扱うこと。
• 得られた適合型DG近似について、離散 H¹ 範囲および L² 範囲における厳密な誤差推定を確立すること。

提案手法

• 多面体要素上で定義される弱勾配作用素 ∇w を、次数 k+2 の多項式を用いて導入し、一貫性と安定性を確保する。
• 強制的ディリクレ境界条件を用いる1つの適合型DG定式化と、数値フラックスを用いて弱く強制する別の定式化を構築する。
• 離散問題を (5) の形に定式化する：すべての v ∈ V_h に対して (∇w u_h, ∇w v) = (f, v)。これはPDEの弱形式を模倣する。
• 各要素 T において局所多項式空間 P_k(T) を用い、弱勾配を要素境界上の離散変分定式化により定義する。
• 離散解が強い意味でも弱い意味でも境界条件を満たすように、適合性を保つ。
• 弱勾配の多項式次数を増加させても、全体のスパarsityや剛性行列のサイズに影響を及ぼさないという事実を活用し、計算効率を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化項やペナルティ項なしに、一般の多面体メッシュ上でも最適収束を達成する適合型DG法を構築可能か？
• RQ2 多面体要素上での高次多項式を用いた場合に、一貫性と安定性を保つ弱勾配作用素 ∇w はどのように設計可能か？
• RQ3 多面体メッシュ上でのディリクレ境界条件を強制的・弱的に強制した場合、適合型DG法の収束特性はどのように変化するか？
• RQ4 単体メッシュを超える適用範囲への拡張において、弱ガラーキン定式化の単純さを保ちつつ、その適用性を拡張可能か？
• RQ5 多面体メッシュ上での新しい定式化について、離散 H¹ 範囲および L² 範囲における最適誤差推定を厳密に証明可能か？

主な発見

• 提案された適合型DG法は、多項式次数 k に対して、離散 H¹ 範囲で次数 k+1、L² 範囲で次数 k+2 の最適収束率を達成する。
• 数値実験により、三角形メッシュおよび多角形メッシュ上での強制的および弱的境界条件の両方で最適収束が確認された。
• 多角形メッシュ上での P₁ 要素では、L² 範囲で 2.00、H¹ 範囲で 1.00 の収束率を達成し、理論的予測と一致した。
• 多角形メッシュ上での P₃ 要素では、L² 範囲で 4.00、H¹ 範囲で 2.99–3.01 の収束率を達成し、最適次数であることが確認された。
• 弱勾配を次数 j = k+2 の多項式で計算しても、最適収束が維持されることから、ロバスト性と一貫性が示された。
• 安定化項やペナルティ項が存在しないことにより、単純で効率的な定式化が実現され、複雑な多面体メッシュ上でも精度と安定性を保持した。