[論文レビュー] A Construction of Complete Ricci-flat Kähler Manifolds

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、特異的でないKähler-Einstein条件を満たさない除数 $D$ に対しても、$Y = X \setminus D$ 上に完全なリッチ平坦ケーラー計量が存在することを示すことにより、準射影的多様体上における完全なリッチ平坦ケーラー計量の存在を拡張する。その条件は、正規化束 $N_D^*$ 内のリンク $S \subset N_D^*$ がササキ-アインシュタイン構造をもつことである。主な結果は、任意のトーリックGorenstein特異点の小さな滑らかな変形が、カルビ ansatz 計量に漸近する完全なリッチ平坦ケーラー計量をもつことである。これは既知の例を一般化し、ササキ幾何学を用いた新しい構成を提供する。

ABSTRACT

We consider an extension of the results of S. Bando, R. Kobyashi, G. Tian, and S. T. Yau on the existence of Ricci-flat Kähler metrics on quasi-projective varieties Y=X\D with α[D]=c_1(X), α>1. The requirement that D admit a Kähler-Einstein metric is generalized to the condition that the link S in the normal bundle of D admits a Sasaki-Einstein structure in the Sasaki-cone of the usual Sasaki structure provided the embedding D\subset X satisfies an additional holomorphic condition. If D is a toric variety, then S always admits a Sasaki-Einstein metric. As an application we prove that every small smooth deformation of a toric Gorenstein singularity admits a complete Ricci-flat Kähler metric asymptotic to a Calabi ansatz metric. Some examples are given which were not previously known.

研究の動機と目的

• 除数 $D$ がケーラー-アインシュタイン計量をもたない場合でも、$Y = X \setminus D$ 上に完全なリッチ平坦ケーラー計量が存在することを一般化すること。
• 幾何的および自己同型の障害により、多くの除数 $D$ がケーラー-アインシュタイン計量をもたないという制限を扱うこと。
• 正規化束内のリンク $S \subset N_D^*$ がササキ-アインシュタイン構造をもつための条件を確立し、これによりリッチ平坦計量の構成を可能にすること。
• 任意のトーリックGorenstein特異点の小さな滑らかな変形が、カルビ ansatz 計量に漸近する完全なリッチ平坦ケーラー計量をもつことを証明すること。
• トーリックおよびササキ幾何学的技法を用いて、これまでに知られていなかった新しいタイプのカラビ-ヤウ多様体の例を提供すること。

提案手法

• リンク $S \subset N_D^*$ 上のリーブベクトル場を変化させることでササキコン回路を構成し、$D$ がケーラー-アインシュタインでない場合でもササキ-アインシュタイン構造を可能にする。
• $Y = X \setminus D$ の無限遠近傍でカルビ ansatz 計量を構成し、$\sigma$ を $D$ 上で消える切断とするとき、$\omega = \frac{n}{\alpha-1} i\partial\bar{\partial} \|\sigma\|^{-2(\alpha-1)/n}$ で定義されるケーラー計量を用いる。
• 除数 $D$ に $\alpha$ 階の極をもつ正則 $n$-形式 $\Omega$ を導入し、マングェ-アームペ方程式を解いてリッチ平坦計量を構成する。
• $H^1(D, \Theta_X \otimes \mathcal{O}(-kD)|_D)$ がすべての $k \geq 2$ に対して消えることを要請し、$D$ の変形理論が障害なしであることを保証する。
• トーリック幾何学を用いて、多面体 $P$ の反対称写像による対称性を活用し、リンク $S$ がササキ-アインシュタイン構造をもつことを保証する。
• 多面体のミンコフスキー分解を用いて例を構成し、トーリック特異点の滑らか化 $\hat{X}$ の無限族がリッチ平坦計量をもつことへと導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 除数 $D$ がケーラー-アインシュタイン計量をもたない場合に、$Y = X \setminus D$ 上に完全なリッチ平坦ケーラー計量を構成できるか？
• RQ2 リンク $S \subset N_D^*$ がどのような条件下でササキ-アインシュタイン構造をもち、リッチ平坦計量の構成を可能にするか？
• RQ3 任意のトーリックGorenstein特異点の小さな滑らかな変形は、完全なリッチ平坦ケーラー計量をもつか？
• RQ4 $Y = X \setminus D$ 上の計量の漸近的挙動は、カルビ ansatz 計量の観点からどのように記述できるか？
• RQ5 この一般化された構成によって、どのような新しいカラビ-ヤウ多様体の例が得られるか？

主な発見

• 本稿は、標準構造のササキコン回路内においてリンク $S \subset N_D^*$ がササキ-アインシュタイン構造をもつならば、$Y = X \setminus D$ が $H^2_c(Y, \mathbb{R})$ 内のすべてのケーラー類において完全なリッチ平坦ケーラー計量をもつことを証明している。
• 任意のトーリックGorenstein特異点の小さな滑らかな変形は、カルビ ansatz 計量に漸近する完全なリッチ平坦ケーラー計量をもつ。これは、ケーラー-アインシュタインの場合を超えた既知の結果の拡張である。
• 無限遠近傍での漸近計量 $\bar{g}$ は、$j \leq k$ に対して $\nabla^j(g - \bar{g}) = O(\rho^{-2n + \delta - j})$ を満たし、カルビ ansatz 計量への強い収束を示している。
• 無限に多くの新しいリッチ平坦ケーラー多様体の例が、対称的多面体のミンコフスキー分解を用いて構成され、トーリック特異点の滑らか化 $\hat{X}$ を得ている。
• リンク $S$ が常にササキ-アインシュタイン計量をもつことから、本構成は、トーリック多様体において常に適用可能であり、広範な新しい例のクラスを提供する。
• 幾何的遷移 $\check{X} \leadsto X \leadsto \hat{X}$ が実現されており、$\check{X}$ は解消で $\hat{X}$ は滑らか化であり、両者ともリッチ平坦計量をもつ。