[論文レビュー] Transverse Kähler geometry of Sasaki manifolds and toric Sasaki-Einstein manifolds

Akito Futaki, Hajime Ono+1 more|ArXiv.org|Jul 24, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、Sasaki多様体における横断的ケーラー幾何に拡張し、調和的チェーン形式を伴う横断的ケーラー計量の障害を導入し、コンパクトなトーリックSasaki多様体上で横断的ケーラー・リッチソリトン（Sasaki-リッチソリトン）の存在を証明した。正の基本的第1チェーン類および自明な接触バンドル第1チェーン類を有するコンパクトなトーリックSasaki多様体に対して、そのような多様体がSasaki-Einstein計量を有するための必要十分条件は、特定の不変量 $ f_1 $ が消えることである。さらに、Reebベクトル場の変形により、$ \mathbb{CP}^2 $ の2点ブLOW-UP上への単位円バンドル上に不規則なトーリックSasaki-Einstein計量を構成した。

ABSTRACT

In this paper we study compact Sasaki manifolds in view of transverse Kähler geometry and extend some results in Kähler geometry to Sasaki manifolds. In particular we define integral invariants which obstruct the existence of transverse Kähler metric with harmonic Chern forms. The integral invariant $f_1$ for the first Chern class case becomes an obstruction to the existence of transverse Kähler metric of constant scalar curvature. We prove the existence of transverse Kähler-Ricci solitons (or {\it Sasaki-Ricci soliton}) on compact toric Sasaki manifolds whose basic first Chern form of the normal bundle of the Reeb foliation is positive and the first Chern class of the contact bundle is trivial. We will further show that if $S$ is a compact toric Sasaki manifold with the above assumption then by deforming the Reeb field we get a Sasaki-Einstein structure on $S$. As an application we obtain irregular toric Sasaki-Einstein metrics on the unit circle bundles of the powers of the canonical bundle of the two-point blow-up of the complex projective plane.

研究の動機と目的

• コンパクトなSasaki多様体上で、調和的チェーン形式を伴う横断的ケーラー計量の存在問題を扱う。
• ケーラー幾何から横断的ケーラー幾何への障害を一般化し、特に定数スカラー曲率およびエインシュタイン計量について考察する。
• コンパクトなトーリックSasaki多様体上で、$ c_1^B > 0 $ および $ c_1(D) = 0 $ の下で、横断的ケーラー・リッチソリトン（Sasaki-リッチソリトン）の存在を証明する。
• Reebベクトル場の変形を用いて、コンパクトなトーリックSasaki多様体がSasaki-Einstein構造を有するための条件を確立する。
• 単位円バンドル上での2点ブLOW-UPの$ \mathbb{CP}^2 $ 上に、不規則なトーリックSasaki-Einstein計量の明示的例を構成する。

提案手法

• Reeb foliationおよびその基本的微分形式に注目することで、Sasaki多様体上の横断的ケーラー幾何を定義する。
• 横断的ケーラー計量と調和的チェーン形式の存在に対する障害として、積分不変量 $ f_1 $ および $ f $ を導入する。
• 横断的ケーラー形式 $ \omega^T $ のLie微分 $ \mathcal{L}_X $ を用いて、方程式 $ \rho^T - (2m+2)\omega^T = \mathcal{L}_X \omega^T $ を通じてSasaki-リッチソリトンを定義する。
• ハミルトニアン正則ベクトル場およびモーメント写像の理論を用いて、コンパクトの横断的正則構造を分析する。
• ケーラー・コンパクト構成とトーリック対称性を用いて、問題を $ \mathbb{R}^3 $ 内のモーメントコンパクト $ C(\mu) \subset \mathbb{R}^3 $ 上の凸幾何問題に還元する。
• トーリックSasaki計量を実現するためのシンプレクティックポテンシャルを明示的に構成し、Reebベクトル場を変形することでSasaki-Einstein構造を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー幾何におけるものと類似する、Sasaki多様体における横断的ケーラー幾何的障害は何か？
• RQ2 コンパクトなトーリックSasaki多様体上で $ c_1^B > 0 $ および $ c_1(D) = 0 $ の下で、横断的ケーラー・リッチソリトンの存在はどのように確立できるか？
• RQ3 コンパクトなトーリックSasaki多様体がSasaki-Einstein計量を有するための条件は何か？
• RQ4 $ c_1^B > 0 $ および $ c_1(D) = 0 $ を満たすトーリックSasaki多様体に対して、Reebベクトル場を変形することでSasaki-Einstein構造を構成できるか？
• RQ5 このような構成によって得られるSasaki-Einstein計量の性質（正則か不規則か）は何か？

主な発見

• 積分不変量 $ f_1 $ は2次障害として定義され、Sasaki-リッチソリトンがSasaki-Einstein計量であるための必要十分条件である。
• 任意のコンパクトなトーリックSasaki多様体において、$ c_1^B > 0 $ および $ c_1(D) = 0 $ の下で、横断的ケーラー・リッチソリトンが存在する。これはWang-Zhuのケーラー結果を一般化する。
• コンパクトなトーリックSasaki多様体にSasaki-Einstein計量が存在するための必要十分条件は、$ f_1 = 0 $ である。ただし、$ c_1^B > 0 $ および $ c_1(D) = 0 $ の仮定のもとで成立する。
• Reebベクトル場の変形を用いることで、$ c_1^B > 0 $ および $ c_1(D) = 0 $ を満たす任意のコンパクトなトーリックSasaki多様体にSasaki-Einstein構造を構成できる。
• 2点ブLOW-UPの$ \mathbb{CP}^2 $ 上への単位円バンドル上に、Sasaki-Einstein計量を有するReebベクトル場は無理数的であり、不規則なSasaki計量をもたらす。
• モーメントコンパクトの面の内向き法線ベクトルは $ v_1 = (1,0,0), v_2 = (1,0,1), v_3 = (1,1,2), v_4 = (1,2,1), v_5 = (1,1,0) $ であり、Reebベクトルは $ x_c = \left(3, \frac{9}{16}(-1 + \sqrt{33}), \frac{9}{16}(-1 + \sqrt{33})\right) $ である。これにより、無理数的であり不規則であることが確認される。