[論文レビュー] A construction of symmetric linear functions of the restricted quantum group \overline{U}_q (sl_2)

Yusuke Arike|ArXiv.org|Jul 1, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、原始的冪等元と生成子の作用に関する乗法則を用いて、根の単位における制限量子群 $\overline{U}_q(sl_2)$ 上の対称線形関数の空間の基底を構成する。主な結果として、$(3p-1)$ 次元の対称線形関数の完全な基底が得られ、積分をバランスング要素でねじ込んだ形の分解が明示的に与えられる。これにより、対数的 conformal field theory への応用が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we construct all the primitive idempotents of the restricted quantum group $\overline{U}_q (sl_2)$ and also determine the multiplication rules among a basis given by the action of generators of $\bar{U}_q (sl_2)$ to the idempotents. By using this result we construct a basis of the space of symmetric linear functions of $\overline{U}_q (sl_2)$ and determine the decomposition of the integral of the dual of $\overline{U}_q (sl_2)$ twisted by the balancing element to the basis of the space of symmetric linear functions.

研究の動機と目的

• 制限量子群 $\overline{U}_q(sl_2)$ の根の単位における対称線形関数の空間の基底を構成すること。
• 双対ホップ代数の左および右積分にバランスング要素の作用を施した線形関数の分解を特定すること。
• $\mathcal{W}(p)$ による頂点 operator 代数に対して、対称線形関数と対数的 conformal field theory の conformal block 間の関係を確立すること。
• $\overline{U}_q(sl_2)$ 内の原始的冪等元と乗法則を用いた、対称関数の完全な代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• $\overline{U}_q(sl_2)$ のすべての原始的冪等元を、非分解的射影モジュールの構造および [2] と [10] の結果を用いて構成する。
• 生成子が原始的冪等元に作用する様子から $\overline{U}_q(sl_2)$ の基底を構成し、基底要素間の完全な乗法則を特定する。
• $1 \leq s \leq p-1$ の $T_s^\pm$ および $G_s$、および $T_0$、$T_p$ を、基底からの行列係数のトレースを用いて定義する。
• 対称性と線形独立性の検証により、集合 $\{T_s^+, T_s^-, G_s \mid 1 \leq s \leq p-1\} \cup \{T_0, T_p\}$ が $\mathrm{SLF}(\overline{U}_q(sl_2))$ の基底をなすことを証明する。
• 基底要素への明示的評価を用いて、ねじれた積分関数 $g^{-1} \rightharpoonup \lambda = \mu \leftharpoonup g$ の対称基底における係数を計算する。
• 量子整数 $[i]$、$\gamma_s$、$\delta_s$、および $\prod_{i=1}^{p-1} \sin(\pi i/p)$ に関する恒等式を用い、係数を閉形式で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元ホップ代数 $\overline{U}_q(sl_2)$ に対して、対称線形関数の完全な基底をどのように構成できるか。
• RQ2 $g^{-1} \rightharpoonup \lambda$ という線形関数を、対称線形関数の基底に明示的に分解するにはどうすればよいか。
• RQ3 対称線形関数は、$\overline{U}_q(sl_2)$ の中心および積分とどのように関係するか、特にバランスング要素の作用下で。
• RQ4 原始的冪等元と乗法則が、対称関数の構成において果たす役割は何か。
• RQ5 この構成が、特に $\mathcal{W}(p)$ に対して、対数的 conformal field theory の conformal block の研究をどのように支援するか。

主な発見

• $\overline{U}_q(sl_2)$ 上の対称線形関数の空間は、[10] の同型写像により、中心の次元と一致する $(3p-1)$ 次元であることが示された。
• $T_s^+$、$T_s^-$、$G_s$（$1 \leq s \leq p-1$）、および $T_0$、$T_p$ からなる関数が、$\mathrm{SLF}(\overline{U}_q(sl_2))$ の基底をなす。
• ねじれた積分関数 $g^{-1} \rightharpoonup \lambda$ の対称基底における係数は、明示的に計算され、$\alpha_0 = \frac{(-1)^{p-1}}{2p^3} \left(2\sin\frac{\pi}{p}\right)^{2(p-1)}$、$\alpha_p = \frac{1}{2p^3} \left(2\sin\frac{\pi}{p}\right)^{2(p-1)}$、$\alpha_s^\pm = -\frac{\delta_s}{\gamma_s^2}$、および $\beta_s = \frac{1}{\gamma_s}$ である。
• $\beta_s$ は $\frac{(-1)^{p-s-1}}{2p^3}[s]^2(2\sin\frac{\pi}{p})^{2(p-1)}$ として表現され、$s$ および $p$ に明示的な依存関係を示す。
• $g^{-1} \rightharpoonup \lambda$ は対称的であり、基底への一意的な分解が可能であり、[10] を通じて対称関数と中心の間の同型が裏付けられる。
• 本研究の結果は、$\overline{U}_q(sl_2)$ と対数的 conformal field theory の conformal block 間の明示的な代数的枠組みを提供し、特に $\mathcal{W}(p)$ に対して、conformal block の空間が $\mathrm{SLF}(\overline{U}_q(sl_2))$ と同型であることを示している。