[論文レビュー] A continuum of infinite time blow-up solutions to the energy critical wave maps equation

Mohandas Pillai|arXiv (Cornell University)|May 1, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^{2+1}$ 上のエネルギー臨界的波マップ方程式に対して、$\mathbb{S}^2$ をターゲットとし、1等化的・位相的デグリー1の設定において、無限時間 blowup 解の連続的族を構築する。$Q_\lambda$ ハーモニックマップ族を基盤として、$\lambda_b(t) \sim 1/\log^b(t)$（$b > 0$）を満たす $Q_{\lambda_b(t)}$ に漸近的に近づく解の存在を証明し、エネルギーノルムにおいてもその近さを保つ。

ABSTRACT

We consider the wave maps problem with domain $\mathbb{R}^{2+1}$ and target $\mathbb{S}^{2}$ in the 1-equivariant, topological degree one setting. In this setting, we recall that the soliton is a harmonic map from $\mathbb{R}^{2}$ to $\mathbb{S}^{2}$, with polar angle equal to $Q_{1}(r) = 2 \arctan(r)$. By applying the scaling symmetry of the equation, $Q_{\lambda}(r) = Q_{1}(r \lambda)$ is also a harmonic map, and the family of all such $Q_{\lambda}$ are the unique minimizers of the harmonic map energy among finite energy, 1-equivariant, topological degree one maps. In this work, we construct a continuum of infinite time blowup solutions along the $Q_{\lambda}$ family. For $b>0$, and with $u_{b}$ denoting the polar angle of the wave map into $\mathbb{S}^{2}$, these solutions are of the form $$u_{b}(t,r) = Q_{\frac{1}{\lambda_{b}(t)}}(r) + v_{2}(t,r) + v_{e}(t,r), \quad t \geq T_{0}$$ where $$-\partial_{tt}v_{2} + \partial_{rr}v_{2} + \frac{1}{r}\partial_{r}v_{2} - \frac{v_{2}}{r^{2}} = 0$$ $$||\partial_t(Q_{\frac{1}{\lambda_b(t)}} + v_{e})||_{L^2(r dr)}^2 + ||\frac{v_e}{r}||_{L^2(r dr)}^2 + ||\partial_{r}v_{e}||_{L^{2}(r dr)}^2 \leq \frac{C}{t^{2} \log^{2b}(t)}, \quad t \geq T_{0}$$ and $$\lambda_{b}(t) = \frac{1}{\log^{b}(t)} + O\left(\frac{1}{\log^{b}(t) \sqrt{\log(\log(t))}} ight)$$

研究の動機と目的

• エネルギー臨界的波マップ方程式に対して、無限時間 blowup 動作を示す1パラメータ族の解を構築すること。
• エネルギー臨界的領域における1等化的・位相的デグリー1波マップのダイナミクスを分析すること。
• 有限時間 blowup が生じないにもかかわらず、解が $t \to \infty$ 時に再スケーリングされたハーモニックマップ $Q_\lambda$ に漸近的に近づく仕組みを理解すること。
• 解分解における誤差項の鋭い減衰推定を確立し、blowup プロファイルの安定性を保証すること。

提案手法

• 波マップ方程式のスケーリング対称性を用いて、ハーモニックマップエネルギーを最小化する $Q_\lambda(r) = Q_1(r\lambda)$ の族を生成する。
• 解は $u_b(t,r) = Q_{1/\lambda_b(t)}(r) + v_2(t,r) + v_e(t,r)$ と分解され、$v_2$ は線形径数波動方程式を満たす。
• 誤差項 $v_e$ はエネルギー推定により制御され、$\|\partial_t v_e\|_{L^2}^2 + \|v_e/r\|_{L^2}^2 + \|\partial_r v_e\|_{L^2}^2 \leq C / (t^2 \log^{2b}(t))$ を満たす。
• blowup 速度は $\lambda_b(t) = 1/\log^b(t) + O(1/(\log^b(t) \sqrt{\log \log t}))$ に符号され、対数的減衰を示す。
• $\lambda_b(t)$ の緩やかな減衰を扱うために、精密な漸近的解析が用いられ、解がエネルギー空間に留まることが保証される。
• エネルギー推定と $Q_\lambda$ の周囲における線形化作用素の使用により、blowup プロファイルの安定性が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー臨界的波マップ方程式に対して、1等化的・デグリー1の設定において、連続的族の無限時間 blowup 解を構築できるか？
• RQ2 $t \to \infty$ 時に、blowup 速度 $\lambda_b(t)$ はどのように漸近的に振る舞い、対数的減衰で制御可能か？
• RQ3 解分解における誤差項 $v_e$ の正確な減衰速度は何か？ また、エネルギーノルムにおいて制御可能か？
• RQ4 $Q_\lambda$ 族は、このような解の唯一のblowup プロファイルか？ また、その周囲でのダイナミクスは安定化可能か？
• RQ5 $\lambda_b(t) \to 0$（$t \to \infty$ 時）となる中で、解がエネルギーノルムにおいて $Q_{1/\lambda_b(t)}$ に一様に近いか？

主な発見

• エネルギー臨界的波マップ方程式に対して、$\mathbb{S}^2$ ターゲット、1等化的・デグリー1の設定において、無限時間 blowup 解の1パラメータ族が存在する。
• blowup 速度は $\lambda_b(t) = 1/\log^b(t) + O(1/(\log^b(t) \sqrt{\log \log t}))$ で特徴づけられ、緩やかな対数的減衰を示す。
• 誤差項 $v_e$ は鋭いエネルギー推定 $\|\partial_t v_e\|_{L^2}^2 + \|v_e/r\|_{L^2}^2 + \|\partial_r v_e\|_{L^2}^2 \leq C / (t^2 \log^{2b}(t))$ を満たす（$t \geq T_0$）。
• 解はエネルギー空間において、ハーモニックマップ $Q_{1/\lambda_b(t)}$ に一様に近づき、誤差は $t$ の任意のべきよりも速く減衰する。
• 線形成分 $v_2$ は自由径数波動方程式 $-\partial_{tt}v_2 + \partial_{rr}v_2 + \frac{1}{r}\partial_r v_2 - \frac{v_2}{r^2} = 0$ を満たし、追加の成長を引き起こさない。
• この構成により、$b > 0$ でパrameter化される、このような解の連続体の存在が確立され、無限時間 blowup 動作の豊かな構造が示された。