[論文レビュー] A convenient category of locally stratified spaces

Stefano Nicotra|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、局所的に分類された空間に局所的にモデル化された空間の新しいカテゴリーを導入し、単体的集合への随伴を備えた、局所的にプレゼンタブルで、カルテジアン閉じたカテゴリーを構成する。このカテゴリーの、関連する単体的集合が∞-圏であるような対象のフルサブカテゴリーが、ファイブレート対象構造を備えていることが示され、基本圏と左被覆に関する主要な結果が得られ、特に基本圏関手の本質的全射性と、適切な条件下での表現と左被覆の同値性が証明される。

ABSTRACT

In this thesis we define the notion of a locally stratified space. Locally stratified spaces are particular kinds of streams and d-spaces which are locally modelled on stratified spaces. We construct a locally presentable and cartesian closed category of locally stratified spaces that admits an adjunction with the category of simplicial sets. Moreover, we show that the full subcategory spanned by locally stratified spaces whose associated simplicial set is an ∞-category has the structure of a category with fibrant objects. We define the fundamental category of a locally stratified space and show that the canonical functor θ_A from the fundamental category of a simplicial set A to the fundamental category of its realisation is essentially surjective. We show that the functor θ_A sends split monomorphisms to isomorphisms, in particular we show that θ_A is not necessarily an equivalence of categories. On the other hand, we show that the fundamental category of the realisation of the simplicial circle is equivalent to the monoid of the natural numbers. To conclude, we define left covers of locally stratified spaces and we show that, under suitable assumptions, the category of representations of the fundamental category of a simplicial set is equivalent to the category of left covers over its realisation.

研究の動機と目的

• 局所的に分類された空間に局所的にモデル化された新しいカテゴリーの定義。
• 局所的にプレゼンタブルでカルテジアン閉じた局所的に分類された空間のカテゴリーの構成。
• 局所的に分類された空間のカテゴリーと単体的集合のカテゴリーとの間の随伴の確立。
• 関連する単体的集合が∞-圏であるような局所的に分類された空間のフルサブカテゴリーが、ファイブレート対象の構造を備えることの確立。
• 局所的に分類された空間の基本圏の定義と、その関連する単体的集合の基本圏との関係の分析。

提案手法

• 局所的に分類された空間を、特定の種類のストリームおよびd空間として定義し、それらを分類された空間に局所的にモデル化する。
• 局所的にプレゼンタブルでカルテジアン閉じた局所的に分類された空間のカテゴリーを構成する。
• 局所的に分類された空間のカテゴリーと単体的集合のカテゴリーとの間の随伴を確立する。
• 関連する単体的集合が∞-圏であるような局所的に分類された空間のフルサブカテゴリーが、ファイブレート対象のカテゴリーの公理を満たすことを示す。
• 局所的に分類された空間の基本圏を定義し、単体的集合の基本圏からその実現への標準的関手の関係を分析する。
• 局所的に分類された空間の左被覆を定義し、適切な仮定の下で、基本圏の表現と左被覆との同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、局所的にプレゼンタブルでカルテジアン閉じた局所的に分類された空間のカテゴリーを構成できるか？
• RQ2 単体的集合の基本圏と、それが局所的に分類された空間としての実現における基本圏との関係は何か？
• RQ3 単体的集合の基本圏からその実現への標準的関手が同値となる条件は何か？
• RQ4 関連する単体的集合が∞-圏であるような局所的に分類された空間のフルサブカテゴリーは、ファイブレート対象の構造を備えるか？
• RQ5 単体的集合の基本圏の表現と、その実現である局所的に分類された空間上の左被覆との間に、カテゴリカルな同値性が存在するか？

主な発見

• 局所的に分類された空間のカテゴリーは、局所的にプレゼンタブルでカルテジアン閉じており、強力なカテゴリカルな構成を可能にする。
• 局所的に分類された空間のカテゴリーと単体的集合のカテゴリーとの間に随伴が存在する。
• 関連する単体的集合が∞-圏であるような局所的に分類された空間のフルサブカテゴリーは、ファイブレート対象の構造を備える。
• 単体的集合Aの基本圏からその実現の基本圏への標準的関手θ_Aは、本質的に全射である。
• 関手θ_Aは、分裂単型を同型に送るが、一般にはカテゴリの同値とは限らない。
• 単体的円の実現の基本圏は、加法に関する自然数のモノイドと同値である。