[論文レビュー] The fundamental category of a stratified space

Jonathan Woolf|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 44

ひとこと要約

本稿は、再帰的に入り込まない出口パス（po-path）を用いて、可 constructible ファイバー系とコシーファイバー系を分類するように設計された、基本群の一般化としての分層空間の基本圏を導入する。同定されたホモトピー的分層空間で局所的に0-および1-連結な層を有する場合、基本圏は分層的エタール被覆（共変関手を介して）および分層的分岐被覆（反変関手を介して）を分類する。これはマクフィーソンの結果を回復し、臨界性の仮定を課さないトレイマーンの出口パス圏を拡張する。

ABSTRACT

The fundamental groupoid of a locally 0 and 1-connected space classifies covering spaces, or equivalently local systems. When the space is topologically stratified Treumann, based on unpublished ideas of MacPherson, constructed an `exit category' (in the terminology of this paper, the `fundamental category') which classifies constructible sheaves, equivalently stratified etale covers. This paper generalises this construction to homotopically stratified sets, in addition showing that the fundamental category dually classifies constructible cosheaves, equivalently stratified branched covers. The more general setting has several advantages. It allows us to remove a technical `tameness' condition which appears in Treumann's work; to show that the fundamental groupoid can be recovered by inverting all morphisms and, perhaps most importantly, to reduce computations to the two stratum case. This provides an approach to computing the fundamental category in terms of homotopy groups of strata and homotopy links. We apply these techniques to compute the fundamental category of symmetric products of R^2, stratified by collisions. Two appendices explain the close relations respectively between filtered and pre-ordered spaces and between cosheaves and branched covers (technically locally-connected uniquely-complete spreads).

研究の動機と目的

• 分層構造に起因してパスが可逆でない可能性がある分層空間に一般化された基本群の一般化を、再び層に進入しない出口パスに基づく新しい不変量（基本圏）を定義することにより行う。
• ホモトピー的分層空間（Quinnの定義）上の可 constructible ファイバー系とコシーファイバー系の分類を、基本圏からの共変および反変関手を用いて行う。
• すべての射に関して局所化することにより、基本群の圏 Π₁X が基本圏の「群の圏化」として回復されることを示す。
• 臨界性の仮定を課さないより広いクラスの分層空間に、トレューマンの出口1-圏を拡張する。

提案手法

• 順序付き空間（po空間）に対して、分層に関して順序を保つパス（poパス）のホモトピー類を用いて、基本圏 Π₁^po X を定義する。
• ホモトピー的分層空間（Quinnの定義）に制限する。これは、ウィリス・トム・メイアーおよびシーベンマンの局所的コーン型空間を含み、良好なホモトピー的性質を保証する。
• ホモトピー的リンク構成を用いて、基本圏の計算を2層の場合に還元し、層およびリンクのホモトピー群を用いて計算可能にする。
• 基本圏上の集合値関手（集合値）の分類を確立し、それらがエタール空間を通じて可 constructible ファイバー系に対応することを示す。
• 構成の双対化により、反変関手が可 constructible コシーファイバー系を分類することを示し、フォックスの完全スプロードを介して幾何的に分層的分岐被覆に対応することを示す。
• すべての射に関して局所化することにより、基本群の圏 Π₁X が基本圏の局所化として回復されることを証明し、それが Π₁^po X の「群の圏化」であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分層構造によりパスが可逆でない可能性がある分層空間において、基本群はどのように一般化できるか？
• RQ2 ホモトピーの臨界性の仮定を課さずに、可 constructible ファイバー系を分類する適切な圏的不変量は何か？
• RQ3 可 constructible ファイバー系の分類を、コシーファイバー系および分岐被覆を含む同一の枠組みで拡張できるか？
• RQ4 局所的に連結な層を有するホモトピー的分層空間において、基本圏は基本群の圏とどのように関係するか？
• RQ5 ホモトピー的リンクおよび層のホモトピー群は、基本圏の計算において果たす役割は何か？

主な発見

• 局所的に0-および1-連結な層を有するホモトピー的分層空間に対して、基本圏 Π₁^po X は共変集合値関手を介して可 constructible ファイバー系を分類する。
• 基本圏上の反変集合値関手は可 constructible コシーファイバー系を分類し、フォックスの完全スプロードを介して幾何的に分層的分岐被覆に対応する。
• 基本群の圏 Π₁X はすべての射に関して局所化された基本圏と同型であり、これは Π₁^po X の「群の圏化」であることを示す。
• 基本圏は層およびホモトピー的リンクのホモトピー群を用いて計算可能であり、一般の場合を2層の場合に還元できる。
• 本構成により、局所同相が各層上で被覆であるような局所同相を用いた分層的被覆のマクフィーソンの分類が回復される。
• 臨界性の仮定を課さずに、トレューマンの出口1-圏を拡張するが、可 constructible ファイバー系の分類を保ったままである。