[論文レビュー] A counterexample shows that not every locally $L^0$--convex topology is necessarily induced by a family of $L^0$--seminorms

Mingzhi Wu, Tiexin Guo|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、モジュール上の局所的$L^0$-凸位相が常に$L^0$-セミノルム族によって誘導されるとは限らない反例を提示し、先行研究における確率的凸解析の基礎的主張に反する。この論文は、このような位相が$L^0$-セミノルム族によって誘導されるための必要十分条件を確立し、$L^0$-凸条件的リスク測度の理論的枠組みとして、局所的$L^0$-凸モジュールよりもランダム局所的凸モジュールが優れていると主張する。

ABSTRACT

This paper constructs a counterexample showing that not every locally $L^0$--convex topology is necessarily induced by a family of $L^0$--seminorms. Random convex analysis is the analytic foundation for $L^0$--convex conditional risk measures, this counterexample, however, shows that a locally $L^0$--convex module is not a proper framework for random convex analysis. Further, this paper also gives a necessary and sufficient condition for a locally $L^0$--convex topology to be induced by a family of $L^0$--seminorms. Finally, we give some comments showing that based on random locally convex modules, we can establish a perfect random convex analysis to meet the needs of the study of $L^0$--convex conditional risk measures.

研究の動機と目的

• フィリポビッチ、カッパー、ヴォーゲルポト（2013）の主張を揺るがす：$L^0$-モジュール上のすべての局所的$L^0$-凸位相が、$L^0$-セミノルム族によって誘導されるという主張の反証。
• 局所的$L^0$-凸位相がいかなる$L^0$-セミノルム族によっても生成されない具体例の構築。
• 局所的$L^0$-凸位相が$L^0$-セミノルム族によって誘導されるための必要十分条件の確立。
• ランダム局所的凸モジュールが、局所的$L^0$-凸モジュールよりも、$L^0$-凸条件的リスク測度の理論的構築に適していると主張する。

提案手法

• 特定の局所的$L^0$-凸モジュールと、局所的$L^0$-凸性の公理を満たすが、いかなる$L^0$-セミノルム族によっても生成されない位相を構築する。
• 相対的可算連結性性質を、反例における近傍構造の解析に鍵的技術的手法として用いる。
• ランダム局所的凸モジュールにおける$(\varepsilon,\lambda)$-位相を定義・分析し、これと局所的$L^0$-凸位相を対比する。
• 特徴付け定理を確立：局所的$L^0$-凸位相が$L^0$-セミノルム族によって誘導されるための必要十分条件は、相対的可算連結性性質を有することである。
• 局所的$L^0$-凸位相と$(\varepsilon,\lambda)$-位相の性質を比較し、後者の確率的推論とのより良い適合性を強調する。
• Guoらのランダム距離論に関する既存の結果を活用し、ランダム局所的凸モジュールを優れたフレームワークとして採用する根拠を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^0$-モジュール上のすべての局所的$L^0$-凸位相は、必然的に$L^0$-セミノルム族によって誘導されるか？
• RQ2 局所的$L^0$-凸位相がいかなる$L^0$-セミノルム族によっても生成されない反例を構築できるか？
• RQ3 局所的$L^0$-凸位相が$L^0$-セミノルム族によって誘導される正確な条件は何か？
• RQ4 なぜ局所的$L^0$-凸モジュールの枠組みは、特に$L^0$-凸条件的リスク測度の文脈において、確率的凸解析に不適切なのか？
• RQ5 ランダム局所的凸モジュールにおける$(\varepsilon,\lambda)$-位相は、確立された確率的凸解析理論の構築に、より適した代替手段であるか？

主な発見

• 反例が構築され、すべての局所的$L^0$-凸位相が$L^0$-セミノルム族によって誘導されるわけではないことが示された。これにより、フィリポビッチ、カッパー、ヴォーゲルポト（2013）の定理2.4が無効化された。
• 本稿では、局所的$L^0$-凸位相が$L^0$-セミノルム族によって誘導されるための必要十分条件が、相対的可算連結性性質を有することであると確立した。
• セミノルム族によって誘導される位相の性質に欠落があることから、局所的$L^0$-凸モジュールの枠組みは確率的凸解析に不十分であると判明した。
• ランダム局所的凸モジュールにおける$(\varepsilon,\lambda)$-位相は、局所的$L^0$-凸位相よりも確率論とより自然に適合し、より自然であることが示された。
• 本稿は、ランダム局所的凸モジュールが、$L^0$-凸条件的リスク測度の完全な理論的枠組みを構築するにあたり、優れたかつより強固なフレームワークを提供すると結論づけた。
• 後続して、Zapata（2014）は、同様の条件について独立かつ同等の特徴付けを発見し、本結果の妥当性と独立性を裏付けた。