[論文レビュー] A counterexample to Beck's conjecture on the discrepancy of three permutations

Alantha Newman, Aleksandar Nikolov|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ n = 3^k $ 個の要素上で定義される3つの順列の再帰的族を構築し、これらの順列におけるすべての区間からなる集合系の不均衡が $ \Omega(\log n) $ であることを示している。これにより、任意の3つの順列の不均衡が $ O(1) $ であるとされたベックの予想が反証される。また、スペンサー、スリニヴァサナン、テタリによる一般化に対しても反証され、一般に $ \ell $ 個の順列では $ O(\sqrt{\ell}) $ の不均衡は達成できないことが示される。

ABSTRACT

Given three permutations on the integers 1 through n, consider the set system consisting of each interval in each of the three permutations. Jozsef Beck conjectured (c. 1987) that the discrepancy of this set system is O(1). We give a counterexample to this conjecture: for any positive integer n = 3^k, we exhibit three permutations whose corresponding set system has discrepancy Omega(log(n)). Our counterexample is based on a simple recursive construction, and our proof of the discrepancy lower bound is by induction. This example also disproves a generalization of Beck's conjecture due to Spencer, Srinivasan and Tetali, who conjectured that a set system corresponding to l permutations has discrepancy O(sqrt(l)).

研究の動機と目的

• 1987年頃に提唱されたヨシュペフ・ベックの予想（任意の3つの順列の不均衡が $ O(1) $ である）を反証すること。
• $ n = 3^k $ 個の要素上で、不均衡が $ \Omega(\log n) $ である3つの順列の族を構築すること。
• スペンサー、スリニヴァサナン、テタリによる一般化（$ \ell $ 個の順列が $ O(\sqrt{\ell}) $ の不均衡をもたらす）を反証すること。
• 定数個の順列から導かれる集合系における不均衡の既存の上界のタイトネスを確立すること。

提案手法

• 再帰的構成により、基底集合 $[1, 3^k]$ を3つの等しいブロック $ A, B, C $ に分割し、これらを3つの順列上で巡回的に配置する。
• 各再帰レベルで、各ブロックを等しいサイズの3つの部分ブロックに再分割し、同じ巡回順列パターンを再帰的に適用する。
• 各順列の接頭辞および接尾辞における色分けの和を追跡することで、不均衡を帰納的に分析する。色分け寄与のブロックごとの分解を用いる。
• ブロック値の和（$ a, b, c $）に基づくケース解析を実施し、サイズ $ 3^{k-1} $ の部分問題における帰納的境界を適用する。
• 補題により、部分問題の不均衡およびブロック寄与の和に基づいて、全体の集合系の不均衡に対する下界を確立する。
• 色分けの総和が正または負の場合をカバーするため、色分けの符号反転を考察することで対称性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つの順列におけるすべての区間からなる集合系の不均衡は、常にベックが予想したように $ O(1) $ であるのだろうか？
• RQ2 スペンサー、スリニヴァサナン、テタリによる一般化——$ \ell $ 個の順列が $ O(\sqrt{\ell}) $ の不均衡をもたらす——は、すべての $ \ell $ に対して成り立つだろうか？
• RQ3 3つの順列に対する最良の不均衡下界は何か？また、それは $ \Omega(\log n) $ に達するだろうか？
• RQ4 $ \ell $ 個の順列に対して、$ O(\ell \log n) $ および $ O(\sqrt{\ell} \log n) $ の上界はタイトだろうか？

主な発見

• 任意の $ k > 0 $ に対して、$ n = 3^k $ 個の要素上で、不均衡が少なくとも $ \lceil k/3 + 1 \rceil $ である3つの順列の族を構築している。
• $ k = \log_3 n $ であるから、これは不均衡下界として $ \Omega(\log n) $ を得る。これはベックの $ O(1) $ 不均衡予想と矛盾する。
• 再帰的構成により、最大 $ 2^k $ 個の異なる順列の三つ組が生成され、証明における対称性のおかげで、これらすべてが同じ $ \Omega(\log n) $ の不均衡下界を満たす。
• この結果により、ボフスによる $ O(\ell \log n) $ およびスペンサー、スリニヴァサナン、テタリによる $ O(\sqrt{\ell} \log n) $ の上界は、$ \ell $ が定数のとき、$ \log n $ 要素を除いてタイトであることが示される。
• 反例により、ベックの予想は成り立たないことが判明し、したがって、ビンパッキングにおける $ OPT_{LP} + O(1) $ の証明に不均衡と加法的整数性ギャップの関係を応用することはできない。