[論文レビュー] A criterion for quadraticity of a representation of the fundamental group of an algebraic variety

Louis-Clément Lefèvre|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな複素準射影的代数的多様体の基本群の表現が、表現多様体において2次特異点を引き起こすための条件を確立する。ホッジ理論とゴールドマン・ミルソンの結果を活用することで、多様体の有限エタール・ガロア被覆が、1次のベッチ数が0である滑らかなコンパクト化を持つならば、その表現は正規化された2次方程式によって解析的に定義されることを示している。

ABSTRACT

Let $\\Gamma$ be a finitely presented group and $G$ a linear algebraic group over $\\mathbb{R}$. A representation $\ ho:\\Gamma\ ightarrow G(\\mathbb{R})$ can be seen as an $\\mathbb{R}$-point of the representation variety $\\mathfrak{R}(\\Gamma, G)$. It is known from the work of Goldman and Millson that if $\\Gamma$ is the fundamental group of a compact K{\\"a}hler manifold and $\ ho$ has image contained in a compact subgroup then $\ ho$ is analytically defined by homogeneous quadratic equations in $\\mathfrak{R}(\\Gamma, G)$. When $X$ is a smooth complex algebraic variety, we study a certain criterion under which this same conclusion holds.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体におけるゴールドマン＝ミルソンの定理を、滑らかな複素準射影的多様体へと拡張すること。
• 表現多様体における2次特異点を保証する有限エタール被覆の幾何的条件を同定すること。
• コンパクト化の第一ベッチ数を用いて、有限被覆を持つ表現の2次性を特徴づける基準を提供すること。
• 超平面配置の補集合やその他の既知の例を、より広い多様体のクラスへ一般化すること。
• 複素トーラスやヘルミート対称空間の族といった、新しい例を探索し、基準が適用可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 基本群 $\Gamma$ から実線型代数的群 $G$ へのホモモーフィズムをパラメトライズする表現多様体 $\mathfrak{R}(\Gamma, G)$ を用いる。
• ゴールドマン＝ミルソンの解析的ジャンルと重み付き斉次特異点の理論を応用し、表現 $\rho$ の近傍における局所的構造を研究する。
• 準射影的多様体のコホロロジー的性質を分析するために、ホッジ理論およびデリーニュとモーガンの結果を用いる。
• 有限エタール・ガロア被覆 $Y \to X$ が、$b_1(\overline{Y}) = 0$ を満たす滑らかなコンパクト化 $\overline{Y}$ を持つという条件を課す。
• 表現の剛性と相対アーベルセ図を用いて、$\rho$ の近傍における解析的ジャンルが2次的であることを示す。
• カジダンの性質 (T) とバイリー＝ボレルコンパクト化を用いて、ヘルミート対称空間に対して第一ベッチ数の条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな複素準射影的多様体の幾何的条件として、有限被覆を持つ表現が表現多様体において2次特異点をもたらすのはどのような場合か？
• RQ2 ケーラー多様体におけるゴールドマン＝ミルソンの基準を、非コンパクトな代数的多様体へどのように拡張できるか？
• RQ3 滑らかなコンパクト化の第一ベッチ数が、表現の特異点型を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 この基準は、複素トーラスの族やヘルミート局所的対称空間へ適用可能か？
• RQ5 コンパクト化上で $b_1$ が消えると、表現多様体における2次的挙動がどの程度保証されるのか？

主な発見

• $X$ を滑らかな複素準射影的多様体とし、基本群を $\Gamma$ とする。$\rho: \Gamma \to G(\mathbb{R})$ が有限被覆を持ち、対応する有限エタール・ガロア被覆 $Y \to X$ が、$b_1(\overline{Y}) = 0$ を満たす滑らかなコンパクト化 $\overline{Y}$ を持つならば、$\mathfrak{R}(\Gamma, G)$ の $\rho$ の近傍における解析的ジャンルは2次特異点である。
• この結果は、コンパクトケーラー多様体に対するゴールドマン＝ミルソンの定理を、コンパクト化における $b_1 = 0$ 条件のもとで、滑らかな準射影的多様体へ一般化したものである。
• 自明な表現の場合、この基準は、$b_1(\overline{X}) = 0$ を満たす超平面配置や曲線の補集合の既知の事例に帰着する。
• 相対アーベルセ図に非自明なほぼ定数因子が存在しないとき、$X$ 上の複素トーラスの族に対してもこの基準は適用可能である。
• $\Gamma$ が非コンパクト型のヘルミート対称空間 $\Omega$ の、$\operatorname{rank} > 2$ の torsion-free ラティスであるときの商 $X = \Gamma \backslash \Omega$ に対しても、この定理は成り立つ。なぜなら、このような $X$ はコンパクト化における $b_1 = 0$ 条件を満たすからである。
• 証明は、性質 (T) が有限索引部分群 $\Gamma'$ に対して $b_1(\Gamma') = 0$ を意味すること、および $\pi_1(\overline{Y})^{\text{ab}}$ が有限であることから $b_1(\overline{Y}) = 0$ であることに依拠している。