[論文レビュー] Geometric and algebraic aspects of 1-formality

Ştefan Papadima, Alexander I. Suciu|ArXiv.org|Mar 13, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、幾何学的・代数的トポロジーにおける1形式性を調査し、1次コホモロジー類のカップ積構造が基本群の有理数プロ-一様完備化を決定することに注目する。特定の4次元多様体 $W$ に対して、$M \times W$ がカーラー多様体の有理数ホモトピー型を持つが、カーラー計量をもたないことを示しており、有理数ホモトピー型とカーラー構造の間に明確な違いがあることを示している。

ABSTRACT

Formality is a topological property, defined in terms of Sullivan's model for a space. In the simply-connected setting, a space is formal if its rational homotopy type is determined by the rational cohomology ring. In the general setting, the weaker 1-formality property allows one to reconstruct the rational pro-unipotent completion of the fundamental group, solely from the cup products of degree 1 cohomology classes. In this note, we survey various facets of formality, with emphasis on the geometric and algebraic implications of 1-formality, and its relations to the cohomology jump loci and the Bieri-Neumann-Strebel invariant. We also produce examples of 4-manifolds W such that, for every compact Kähler manifold M, the product M imes W has the rational homotopy type of a Kähler manifold, yet M imes W admits no Kähler metric.

研究の動機と目的

• 基本群および多様体における1形式性の幾何学的・代数的意味を理解すること。
• 1形式性、コホモロジージャンプlocus、およびBieri–Neumann–Strebel不変量の関係を明確化すること。
• 有理数ホモトピー型がカーラー多様体に一致するが、カーラー計量をもたないような4次元多様体 $W$ の例を構成すること。
• モノドロミー固有値とArapuraの定理（ユニタリ特徴のもの）を用いた、準カーラー群の判定基準を提供すること。

提案手法

• Sullivanの有理数ホモトピー論を用いて、de Rham代数とコホモロジーリング間の擬同型写像により形式性を定義する。
• QuillenのMalcev完備化およびホロノミー代数を用い、カップ積写像 $\mu_G: H^1(G,\mathbb{Q}) \wedge H^1(G,\mathbb{Q}) \to H^2(G,\mathbb{Q})$ を通じて1形式性を特徴付ける。
• 写像トーラスのLeray-Serreスペクトル系列を解析し、モノドロミー作用とコホモロジージャンプlocus $\mathcal{V}_1(U_h)$ の関係を明らかにする。
• Arapuraの結果（準カーラー多様体の $\mathcal{V}_1(X)$ の孤立点はユニタリ特徴でなければならない）を活用する。
• 非ユニタリモノドロミー固有値をもつ曲面自己同型の写像トーラスを用いて、明示的な例を構成する。
• Künnethの公式を用いて $\mathcal{V}_1(N \times U_h)$ を計算し、非ユニタリ固有値が準カーラー基本群でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間または群の、1次でのカップ積構造によって決定される代数的・幾何的性質は何か？
• RQ2 1形式的群が、有理数ホモトピー型がカーラー多様体と一致するにもかかわらず、なぜ準カーラーでないことがあるのか？
• RQ3 $H_1(U,\mathbb{Z})$ 上のモノドロミー作用の固有値は、写像トーラスにカーラー計量が存在するのをどのように制限するか？
• RQ4 有理数ホモトピー型がカーラー多様体と一致するが、カーラー計量をもたないような、互いに同相でない4次元多様体 $W$ を無限個構成できるか？
• RQ5 Bieri–Neumann–Strebel不変量は、1形式性および準カーラー構造を検出する上で果たす役割は何か？

主な発見

• モノドロミーが非ユニタリな曲面自己同型の写像トーラス $W = S^1 \times U_h$ に対して、$M \times W$ はカーラー多様体の有理数ホモトピー型を持つ。
• この有理数ホモトピー同型にもかかわらず、$M \times W$ はモノドロミー作用の固有値のノルムが1でないため、カーラー計量をもたない。
• コホモロジージャンプlocus $\mathcal{V}_1(U_h) \cap \mathbb{T}^0(U_h)$ は1およびモノドロミー $h_*$ の固有値から成り、構成例ではこれらは非ユニタリである。
• 任意のコンパクトカーラー多様体 $M$ に対して、$|\operatorname{tr}(A)| \geq 3$ であるような曲面自己同型から構成される $W$ に対して、$M \times W$ は準カーラーでない。
• 無限個の互いに同相でない4次元多様体 $W_{g,n}$ が存在し、$H_1(W_{g,n},\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^2 \oplus \bigoplus^g \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を満たし、同じ有理数ホモトピー型条件を満たすが、カーラー計量をもたない。
• モノドロミー $h_*$ がノルム $\neq 1$ の固有値をもつ場合、$N \times U_h$ の基本群は準カーラーでない。これは、$\mathcal{V}_1(N \times U_h)$ の孤立点がArapuraのユニタリ性条件に反するからである。