[論文レビュー] A critical fractional equation with concave-convex power nonlinearities

Begoña Barrios, Eduardo Colorado+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 53被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 内で分数ラプラシアン $(-\Delta)^s$ を含む分数的臨界方程式とその凹凸非線形項を研究する。変分法およびマウンテン・パス定理を用いて、パラメータ $\lambda$ に応じた正の解の存在および多重性を確立する。$0 < q < 1$（凹型）および $1 < q < 2^*_s - 1$（凸型）の異なる挙動を示し、$\lambda$ が小さい場合には少なくとも2つの解が存在し、$\lambda$ が大きい場合には1つの解が存在することを、次元制約のもとで証明する。

ABSTRACT

In this work we study the following fractional critical problem $$ (P_λ)=\left\{\begin{array}{ll} (-Δ)^s u=λu^{q} + u^{2^*_{s}-1}, \quad u{&gt;}0 &amp; \mbox{in} Ω\\ u=0 &amp; \mbox{in} \RR^n\setminus Ω\,, \end{array} ight. $$ where $Ω\subset \mathbb{R}^n$ is a regular bounded domain, $λ&gt;0$, $02s$. Here $(-Δ)^s$ denotes the fractional Laplace operator defined, up to a normalization factor, by $$ -(-Δ)^s u(x)={ m P. V.} \int_{\RR^n}\frac{u(x+y)+u(x-y)-2u(x)}{|y|^{n+2s}}\,dy, \quad x\in \RR^n. $$ Our main results show the existence and multiplicity of solutions to problem $(P_λ)$ for different values of $λ$. The dependency on this parameter changes according to whether we consider the concave power case ($0

研究の動機と目的

• 分数ラプラシアン $(-\Delta)^s$ によって駆動される非局所的臨界問題に対する正の弱解の存在および多重性を分析すること。
• 正のパラメータ $\lambda > 0$ が、凹型と凸型の非線形項が競合する状況下で解構造に与える影響を調査すること。
• 局所的ラプラシアン設定における古典的結果を、特に臨界指数に対して非局所的分数的設定へと拡張すること。
• 問題 $(P_\lambda)$ が $\lambda > \Lambda$ のときには解をもたず、$\lambda < \Lambda$ のときには最小解をもち、$\lambda = \Lambda$ のときには少なくとも1つの解をもつような閾値 $\Lambda$ の存在を確立すること。

提案手法

• 分数的ソボレフ空間 $X_0^s(\Omega)$ 内で問題を変分的に定式化し、$(-\Delta)^s$ および臨界非線形項 $u^{2^*_s - 1}$ に関連するエネルギー汎関数を用いる。
• $1 < q < 2^*_s - 1$ の場合に、エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_{s,\lambda}$ の非自明な臨界点の存在をマウンテン・パス定理を用いて確立する。
• 凹型および凸型の両ケースにおいて、エネルギー汎関数のパライス＝スメイル条件を証明し、パライス＝スメイル系列の収束を保証する。
• 点の近傍に集中する家族 $\eta_\varepsilon$ の切り捨て関数を用いた形 $t \eta_\varepsilon$ のテスト関数を用い、エネルギー汎関数の推定を行い、マウンテン・パス定理の幾何的条件を検証する。
• パラメータ $\lambda \to \infty$ の下でのテストパスにおける最大化子 $t_{\varepsilon,\lambda}$ の漸近的挙動を分析し、マウンテン・パスレベルが正であり、ゼロから離れていることを示す。
• 分数ラプラシアンに対するポホジャエフ型恒等式を用いて、$\lambda = 0$ かつ $\Omega$ が星型のときには解が存在しないことを排除し、摂動項 $\lambda u^q$ の必要性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < q < 1$ の場合、問題 $(P_\lambda)$ が $\lambda > \Lambda$ のときには解をもたず、$\lambda < \Lambda$ のときには少なくとも2つの解をもつような閾値 $\Lambda > 0$ が存在するか？
• RQ2 $1 < q < 2^*_s - 1$ の場合、次元 $n$ およびパラメータ $\lambda$ にどのような条件下で問題 $(P_\lambda)$ は少なくとも1つの正の解をもつか？
• RQ3 凹型項 $\lambda u^q$ と臨界凸型項 $u^{2^*_s - 1}$ の相互作用が、非局所的分数的設定における解の存在および多重性にどのように影響するか？
• RQ4 凸型の場合に、エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_{s,\lambda}$ に対してマウンテン・パス定理を適用可能か？また、パライス＝スメイル条件が成立するための条件は何か？

主な発見

• $0 < q < 1$ の場合、有限の閾値 $\Lambda > 0$ が存在し、問題 $(P_\lambda)$ は $\lambda > \Lambda$ のときには解をもたず、$\lambda < \Lambda$ のときには最小解をもち、$\lambda = \Lambda$ のときには少なくとも1つの解をもつ。さらに、$0 < \lambda < \Lambda$ のときには少なくとも2つの解が存在する。
• $1 < q < 2^*_s - 1$ の場合、$n > \frac{2s(q+3)}{q+1}$ かつ $\lambda > 0$ のとき、または $n \leq \frac{2s(q+3)}{q+1}$ かつ $\lambda$ が十分に大きいとき、問題は少なくとも1つの正の解をもつ。
• エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_{s,\lambda}$ は、凹型および凸型の両ケースにおいてパライス＝スメイル条件を満たし、パライス＝スメイル系列が臨界点に収束することを保証する。
• マウンテン・パスレベル $c_\varepsilon$ は正の定数 $\beta > 0$ で下から抑えられ、これは汎関数の非自明な臨界点の存在を保証する。
• テストパス $t_{\varepsilon,\lambda}$ の漸近的解析により、$\lambda \to \infty$ のとき $t_{\varepsilon,\lambda} \to 0$ となることが示され、マウンテン・パスレベルが正であり、ゼロから離れていることを保証する。これにより、$\lambda$ が大きい場合の解の存在が保証される。
• 結果として、ブレゼスとニレルベルグの古典的局所的結果が、非局所的分数的設定へと拡張され、分数的臨界指数 $2^*_s = \frac{2n}{n-2s}$ が中心的な役割を果たす。