[論文レビュー] A cubic nonconventional ergodic average with Möbius and Liouville weight

El Houcein El Abdalaoui, Xiangdong Ye|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スペクトル分解、Davenport推定、およびKatai-Bourgain-Sarnak-Ziegler基準のWiener-Wintner版を用いて、モービウス関数またはリウヴィル関数で重み付けされた2次の立方非伝統的エルゴード平均が0にほとんど確実に収束することを確立する。主な結果は、これらの算術的関数の自己相関が急速に減少することを示しており、$ C / \ln(N)^\epsilon $ のオーダーの境界を持つ。これは、この設定におけるSarnakのモービウス直交性予想を支持する。

ABSTRACT

It is shown that the cubic nonconventional ergodic average of order 2 with Möbius and Liouville weight converge almost surely to zero. As a consequence, we obtain that the Cesàro mean of the self-correlations and some moving average of the self-correlations of Möbius and Liouville functions converge to zero.

研究の動機と目的

• モービウス関数およびリウヴィル関数の重みを用いた2次の立方非伝統的エルゴード平均が0にほとんど確実に収束することを確立すること。
• モービウス関数およびリウヴィル関数の自己相関のCesàro平均および特定の移動平均が0に収束することを示すこと。
• Davenport推定およびKatai-Bourgain-Sarnak-Ziegler基準のWiener-Wintner版を、非伝統的エルゴード平均の文脈に拡張すること。
• モービウス関数およびリウヴィル関数の自己相関に対する定量的減衰推定を提供し、それが発散する幾何級数に沿って可 summable であることを示すこと。
• 動的系における重み付き平均の下での収束を証明することで、Sarnakのモービウス直交性予想を支持すること。

提案手法

• Nikomeier-Sarnak-Ziegler (NSZE) 分解を用いて関数 $ f_1 $ をスペクトル的成分、ほぼ周期的成分、弱混合成分に分解する。
• 二重再帰Bourgain定理 (DRBT) を用いて、重み付き平均におけるスペクトル的およびほぼ周期的成分の寄与を制御する。
• Davenport推定を用いて、モービウス関数およびリウヴィル関数を含む指数和の上界を定め、自己相関項の減衰を保証する。
• Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler基準のWiener-Wintner版を用いて、重み付き指数和のほとんど確実な収束を確立する。
• Birkhoffの個々のエルゴード定理を用いて弱混合成分を制御し、$ N \to \infty $ の極限でその寄与が消えることを示す。
• 三角不等号および $ \epsilon $-近似を用いてすべての成分を結合し、全平均がほとんど確実に0に収束することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モービウス関数またはリウヴィル関数の重みを用いた2次の立方非伝統的エルゴード平均は、ほとんど確実に0に収束するか？
• RQ2 モービウス関数およびリウヴィル関数の自己相関のCesàro平均が0に収束することは示せるか？
• RQ3 これらの関数の自己相関の移動平均も0に収束するか？ また、発散する幾何級数に沿って可 summable か？
• RQ4 Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler基準のWiener-Wintner版を用いて、重み付き指数和のほとんど確実な収束を証明できるか？
• RQ5 一般の有界乗法的関数に対して、強いDaboussi-Delange条件が成り立つか？ これにより同様の収束結果が得られるか？

主な発見

• モービウス関数またはリウヴィル関数の重みを用いた2次の立方非伝統的エルゴード平均は、ほとんど確実に0に収束する。
• モービウス関数の自己相関のCesàro平均は、任意の $ \epsilon > 0 $ に対して $ \frac{1}{N}\sum_{m=1}^{N}\left|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\bm{\mu}(n)\bm{\mu}(n+m)\right| \leq \frac{C}{\ln(N)^\epsilon} $ を満たす。
• リウヴィル関数に対しても同様の減衰境界が成り立つ：$ \frac{1}{N}\sum_{m=1}^{N}\left|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\bm{\lambda}(n)\bm{\lambda}(n+m)\right| \leq \frac{C}{\ln(N)^\epsilon} $。
• 自己相関の減衰率のおかげで、モービウス関数およびリウヴィル関数の自己相関は、任意の発散する幾何級数に沿って可 summable である。
• 証明により、弱混合成分の寄与が極限で消えることが示され、全平均がほとんど確実に0に収束することが保証される。
• Sarnakの予想を支持するため、乗法的重み付き非伝統的平均の文脈でモービウス直交性が成立することが証明された。