[論文レビュー] A d-shifted Darboux theorem

Emile Bouaziz, I. Grojnowski|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、$d$-シフトされたシンプレクティックな導来スタックの局所正規形を確立する。具体的には、局所的に任意のこのような構造が、関数 $f \in H^{1-d}(/mathcal{O})$ によって定義される「ねじれシフトされた余接バンドル」と、$d \equiv 2 \pmod{4}$ のとき、2の倍数のランクを持つ2次形式バンドルの積に局所的に分解可能であることを証明する。この結果は、古典的なダーブォックスの定理を一般化し、高次シフトされたシンプレクティック構造の分類を拡張する。

ABSTRACT

We give a local model for d-shifted symplectic dg-schemes, or Deligne-Mumford dg-stacks [PTVV]. Locally any such is a product of a "twisted shifted cotangent bundle", where the twist is given by an element df, with $f \in H^{1-d}(\Cal O)$, and a quadratic bundle in middle degree. The latter only occurs if d = 4r+2.

研究の動機と目的

• d-シフトされたシンプレクティックな導来スタックの局所分類を、幾何的モデルの観点から提供すること。
• 導来代数幾何における高次シフトされたシンプレクティック構造へ、古典的なダーブォックスの定理を一般化すること。
• d-シフトされたシンプレクティックスタックをほぼラグランジュ部分多様体のファイブレーションで分割する際の障害を、シンプレクティック形式のウィット群における類として同定すること。
• d \equiv 2 \pmod{4}$ のときのみ、ねじれ余接バンドルを超える追加の局所構造が、2次形式バンドルの形で現れることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、余接複体の部分バンドルを導来スキームの準同型に統合するために、dg-フロベニウス定理を用いる。
• 彼らは、$\mathcal{P} \otimes \mathbb{L}_{\mathcal{Y}}$ に値をとる閉1次形式 $\tilde{\xi}_1$ を用いて、ねじれシフトされた余接バンドルを変形することで、局所モデルを構成し、新たな $\mathcal{P}$-シフトされたシンプレクティック構造を得る。
• 彼らは代数的サージェリーやウィットのキャンセレーションを用いて、余接複体を代謝的部分と、$[-d/2, -d/2]$-振幅部分 $P$ に分解する。この $P$ は $d \equiv 2 \pmod{4}$ のときのみ非ゼロとなる。
• 彼らはド・ラーム複体とシフトされたシンプレクティック構造の形式的枠組みを用いて、局所的にシンプレクティック形式が、cdga上の対称代数上の標準形式に引き戻されることを示す。
• 彼らは、点の近傍におけるシンプレクティック構造が、標準的な $df$-ねじれシンプレクティック形式と、$P$ 上の2次形式の和に局所的に同型であることを、cdgaの準同型を介して証明する。
• 彼らはエタール局所化と、所定のトール振幅を持つ完全複体の構造を用いて、結果をアーティンおよびデリーニュ＝マクマロンのdgスタックへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d > 0 に対して、d-シフトされたシンプレクティックな導来スタックの局所正規形は何か？
• RQ2 d-シフトされたシンプレクティック構造が、局所的にねじれ余接バンドルと2次形式バンドルの積に分解されるのはいつか？
• RQ3 d-シフトされたシンプレクティックな導来スタックにおいて、ほぼラグランジュ部分多様体のファイブレーションを見つける際の障害は何か？
• RQ4 なぜ非自明な2次形式バンドルが、$d \equiv 2 \pmod{4}$ のときのみ現れるのか？
• RQ5 d-シフトされたシンプレクティックな導来スタックの局所構造は、標準的なシンプレクティック形式を持つcdgaの準同型で記述可能か？

主な発見

• 局所的に、任意の $\mathcal{P}$-シフトされたシンプレクティックな導来スタックは、ねじれシフトされた余接バンドル $\operatorname{Sym}^\eta_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{P}^{-1} \otimes \mathbb{L}_Y^*)$ と2次形式バンドル $P$ の積に同型である。
• 2次形式バンドル $P$ は $d \equiv 2 \pmod{4}$ のときのみ非ゼロであり、$[-d/2, -d/2]$-トール振幅を持つ。
• d-シフトされたシンプレクティックスタックをほぼラグランジュ部分多様体のファイブレーションで分割する際の障害は、正確に $KH_0(\mathcal{X}, \mathcal{P}, \lambda_\mathcal{P})$ における $\omega_2$ の類である。
• $d \not\equiv 2 \pmod{4}$ のとき、任意の局所近傍はエタール局所的にねじれシフトされた余接バンドルに同型である。
• 局所モデル上のシンプレクティック形式 $\omega$ は、準同型 $\sigma: \operatorname{Sym}^\eta_B(\mathbb{L}_B^\dagger + P) \to A$ を介して、標準形式 $\omega^{\text{std}}_{df}$ と $P$ によって誘導される形式に引き戻される。
• $d \equiv 2 \pmod{4}$ のとき、2次形式バンドル $P$ はランクが偶数でなければザリスキ局所的に代謝的でないが、ランクが偶数のときには常にエタール局所的に代謝的であり、奇数のときは1次元バンドルと代謝的バンドルの積に分解可能である。