[論文レビュー] Shifted Symplectic Structures

Tony Pantev, Bertrand Toën+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、導来アーティンスタックにおける$n$-シフトされたシンプレクティック構造を導入し、古典的シンプレクティック幾何学を導来的および高階圏的設定へ一般化する。マッピングスタック、完全複体の導来モジュライ、およびラグランジュ的交差が、自然なシフトされたシンプレクティック構造を持つことが証明されており、主な結果として、カルラ・ヤウ3次元多様体上の層のモジュライに$(-1)$-シフトされたシンプレクティック形式が存在すること、および楕円曲線からシンプレクティック標的へへのマッピングに同様の構造が存在することが挙げられる。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers about \emph{quantization} in the context of \emph{derived algebraic geometry}. In this first part, we introduce the notion of \emph{$n$-shifted symplectic structures}, a generalization of the notion of symplectic structures on smooth varieties and schemes, meaningful in the setting of derived Artin n-stacks. We prove that classifying stacks of reductive groups, as well as the derived stack of perfect complexes, carry canonical 2-shifted symplectic structures. Our main existence theorem states that for any derived Artin stack $F$ equipped with an $n$-shifted symplectic structure, the derived mapping stack $ extbf{Map}(X,F)$ is equipped with a canonical $(n-d)$-shifted symplectic structure as soon a $X$ satisfies a Calabi-Yau condition in dimension $d$. These two results imply the existence of many examples of derived moduli stacks equipped with $n$-shifted symplectic structures, such as the derived moduli of perfect complexes on Calabi-Yau varieties, or the derived moduli stack of perfect complexes of local systems on a compact and oriented topological manifold. We also show that Lagrangian intersections carry canonical (-1)-shifted symplectic structures.

研究の動機と目的

• 導来的および高階圏的設定へシンプレクティック幾何学を一般化するため、シフトされたシンプレクティック構造を用いる。
• 導来アーティンスタックにおける$n$-シフトされたシンプレクティック構造の厳密な枠組みを確立する。
• 主なモジュライ空間、特に導来マッピングスタックおよび導来交差におけるシフトされたシンプレクティック構造の存在定理を証明する。
• 既知の層のモジュライおよび表現のシンプレクティック構造が、新しい形式の特別な場合として回復されることを示す。
• 導来代数幾何におけるポisson構造、形式的性、および量子化に関する今後の研究の基盤を提供する。

提案手法

• $n$-シフトされたシンプレクティック構造を、導来接空間複体$\wedge^2 \mathbb{L}_X[n]$における閉2次形式と非退化性条件を用いて定義する。
• 導来接空間複体$\mathbb{L}_X$を用いて、導来代数幾何における微分形式および閉形式を一般化する。
• 主な存在定理（定理2.5）を適用し、$X$が次元$d$のカルラ・ヤウ多様体であるとき、$\mathbf{Map}(X,F)$が$(n-d)$-シンプレクティック構造を引き継ぐことを示す。
• 再帰的群の分類スタックおよび完全複体の導来スタック$\mathbb{R}\mathbf{Perf}$に2-シフトされたシンプレクティック構造を構成する。
• $\mathbb{R}\mathbf{Perf}(X) \to \mathbb{R}\mathrm{Pic}(X)$の行列式写像を用い、固定行列式を持つモジュライへの$(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造への引き戻しを実行する。
• ラグランジュ的部分多様体$L$と$L'$の導来的交差$L \times^h_X L'$を用い、定理2.9により$(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的$0$-シフトの場合を超えて、導来的および高階スタックにおけるシンプレクティック構造をどのように一般化できるか？
• RQ2 導来マッピングスタック$\mathbf{Map}(X,F)$が$F$からシフトされたシンプレクティック構造をどのように引き継ぐか？
• RQ3 カルラ・ヤウ多様体上の完全複体の導来モジュライスタックにどのような自然なシフトされたシンプレクティック構造が存在するか？
• RQ4 カルラ・ヤウ3次元多様体上の層のモジュライおよび導来ラグランジュ的交差に、どのように$(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造が生じるか？
• RQ5 対称的障害理論の存在が、より深い$n$-シフトされたシンプレクティック構造から導かれるか？そしてこれは量子化にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 滑らかでコンpactなカルラ・ヤウ$d$-次元多様体上の完全複体の導来モジュライスタックは、自然な$(2-d)$-シフトされたシンプレクティック構造を持つ。
• 滑らかでコンpactな$d$-次元多様体上の平坦接続を持つ完全複体の導来モジュライスタックは、自然な$2(1-d)$-シフトされたシンプレクティック構造を持つ。
• コンパクトで向き付け可能な$d$-次元多様体上の局所系統の完全複体の導来モジュライスタックは、自然な$(2-d)$-シフトされたシンプレクティック構造を持つ。
• 楕円曲線$E$と滑らかなスキーム$X$に対して、導来スタック$\mathbb{R}\mathbf{Map}(E, T^*X)$は、自然な$(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造を持つ。
• 滑らかなシンプレクティックスキームにおけるラグランジュ的交差$L \times^h_X L'$は、自然な$(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造を持つ。
• カルラ・ヤウ3次元多様体$X$に対する導来スタック$\mathbb{R}\mathbf{Perf}(X)$は、自然な$(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造を持つ。この構造は、その切り捨てに対称的障害理論を誘導する。