[論文レビュー] A De Giorgi Iteration-based Approach for the Establishment of ISS Properties of a Class of Semi-linear Parabolic PDEs with Boundary and In-domain Disturbances

Jun Zheng, Guchuan Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ディリクレ境界条件および境界および領域内への摂動を伴う半線形放物型PDEに対して、入力-状態安定性（ISS）を確立するための、デ・ジョルジ反復に基づく新規なアプローチを提案する。システムを二つの部分系に分割する：初期条件を持つが境界摂動のない部分系、および境界摂動を持つが初期条件がゼロの部分系。この方法により、$L^2$-ノルムのISSに対してリャプノフ汎関数解析を、$L^\infty$-ノルムのISSに対してはデ・ジョルジ反復を組み合わせ、1次元移流方程式に対しては $L^\infty$-ノルムのISS、バーガース方程式に対しては $L^2$-ノルムのISSを明確に示した。

ABSTRACT

This paper addresses input-to-state stability (ISS) properties with respect to boundary and in-domain disturbances for a class of semi-linear partial differential equations (PDEs) subject to Dirichlet boundary conditions. The developed approach is a combination of the method of De Giorgi iteration and the technique of Lyapunov functionals by adequately splitting the original problem into two subsystems. The ISS in $L^\infty$-norm for a 1-$D$ transport equation and the ISS in $L^2$-norm for Burgers' equation have been established using this method. As an application of the main result for the 1-D transport equation, a study on ISS properties in $L^\infty$-norm of a 1-D transport equation with anti-stable term under boundary feedback control is carried out. This is the first time that the method of De Giorgi iteration is introduced in the ISS theory for infinite dimensional systems, and the developed method can be generalized for tackling some problems on multidimensional spatial domains and be applied to a wider class of nonlinear parabolic PDEs.

研究の動機と目的

• 境界および領域内摂動を伴うディリクレ境界条件を満たす半線形放物型PDEに対して、入力-状態安定性（ISS）を確立する課題に取り組むこと。
• 従来の手法が無限大作用素を含むか、特に $L^\infty$-ノルム解析においてディリクレ条件の下で失敗するという限界を克服すること。
• 従来、正則性理論で用いられてきたデ・ジョルジ反復法を、無限次元系におけるISS解析へと応用範囲を拡大すること。
• 多次元領域およびより広い非線形放物型PDEのクラスに適用可能な一般化可能なフレームワークを提供すること。
• 境界フィードバック制御下での不安定項を有するケースを含め、1次元移流方程式およびバーガース方程式のISS解析を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• システムを二つの部分系に分解する：境界条件が同次で初期データが非ゼロ（境界摂動なし）の部分系、および境界摂動を持つが初期条件がゼロ（領域内摂動はどちらの部分系に割り当ててもよい）の部分系。
• 初期値部分系に対しては、リャプノフ汎関数手法を適用し、$H^1$ または $L^2$-ノルムにおけるISSを導出することで、初期条件の摂動に対する安定性を保証する。
• 境界摂動部分系に対しては、デ・ジョルジ反復法を用いて解の $L^\infty$-ノルムの上限を確立し、essentially sup-ノルムにおけるISS解析を可能にする。
• 両部分系からの推定値を組み合わせることで、全体のISS性質を導出する。この際、三角不等号およびノルム同値性を活用する。
• 非線形項および境界寄与を制御するため、ピカールの不等式およびヤングの不等式といった重要な不等式を導出過程で用いる。
• 本手法は1次元移流方程式およびバーガース方程式に対して検証され、初期データ、境界摂動、領域内摂動の関数として、$\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}$ および $\|u(\cdot,t)\|_{L^2}$ の明示的境界が導出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界摂動を伴う無限次元系に対して、デ・ジョルジ反復法を効果的に適応してISS特性を確立できるか？
• RQ2 リャプノフ手法が限界に達するディリクレ境界条件を満たす半線形放物型PDEに対して、$L^\infty$-ノルムにおけるISSをどのように達成できるか？
• RQ3 初期条件部分系と摂動駆動部分系にシステムを分解することで、異なる解析手法（リャプノフ対デ・ジョルジ）を異なるノルムに適応可能にする役割は何か？
• RQ4 本手法を多次元空間領域および他の非線形放物型PDEのクラスに一般化できるか？
• RQ5 境界フィードバック制御下での不安定項を有する系に対して、本手法は $L^\infty$-ノルムのISSにおいてどのように性能を示すか？

主な発見

• 本稿は、境界および領域内摂動を伴う1次元線形移流PDEに対して、デ・ジョルジ反復法を用いて $L^\infty$-ノルムのISSを確立した。
• 同様の摂動条件の下で、バーガース方程式に対してはリャプノフ汎関数手法を用いて $L^2$-ノルムのISSを証明した。
• 本手法により、先行研究の $L^p$-ノルム結果（$p>2$）[21] よりも強い安定性推定が得られ、改善された $L^\infty$-ノルムの境界が得られた。
• 不安定項を有する1次元移流方程式に対しては、境界フィードバック制御下で $L^\infty$-ノルムのISS解析が可能であり、安定化可能な系への適用可能性が示された。
• 移流方程式の導出された推定式は、$\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty} \leq \max_{s\in[0,t]}|d(s)| + \frac{1}{\mu}2^{\frac{5p-8}{2p-4}}\max_{(x,s)\in[0,1]\times[0,t]}|f(x,s)|$ を満たし、摂動に明示的な依存関係が示された。
• 本手法は、多次元領域および一般化されたバーガース方程式、フィッシャー＝コルモゴロフ方程式、チャフィー＝インファンテ方程式などの他の半線形放物型PDEに対しても一般化可能であることが示された。