[論文レビュー] A deformation formula for the heat kernel

Thierry Hargé|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、行列値ポテンシャルで摂動された非自己随伴で時間に依存する二次型シュレーディンガー作用素の熱核に対する変形公式を提示する。自由熱核で熱核を共役化することにより、古典的ハミルトニアン流に関連する変形行列を用いて、共役化された核の明示的級数表現を導出する。時間の小さい範囲および解析的ポテンシャルの下で収束性を確立する。

ABSTRACT

Let us consider a time-dependent differential operator quadratic with respect to the phase variables. Let us consider a multiplication operator defined with the help of a "small" matrix-valued function. Under suitable conditions, we give an "explicit" expression of "the" heat kernel associated to the sum of the two previous operators for small time.

研究の動機と目的

• 時間に依存する係数を持つ非自己随伴二次型シュレーディンガー作用素に正則な行列値ポテンシャルが摂動された場合の熱核の明示的表現を導出すること。
• 従来の自己随伴または自由な場合に用いられてきた変形公式のアプローチを、非自己随伴設定へと拡張すること。
• 適切な解析的および実数性条件の下で、共役化された核の小時間展開のボレル和可能性を確立すること。
• ヒューリスティックな経路積分的解釈を通じて、変形公式がウィENERおよびファインマン積分とどのように関連するかを明らかにすること。
• 古典的ハミルトニアン系の解と変形行列を用いて、共役化された核の厳密な構成を行うこと。

提案手法

• 時間に依存する係数 $ A(t), B(t), C(t) $ を持つ2階微分作用素 $ P_0 $ を定義し、$ \partial_x $ および $ x $ に関して二次型とする。
• 自由熱核 $ p_t^0 $ を用いて、共役化された核 $ p_t^{\text{conj}}(x,y) $ を $ p_t(x,y) = p_t^0(x,y) p_t^{\text{conj}}(x,y) $ で定義する。
• 時間区間における繰り返し積分を用いて、$ p_t^{\text{conj}} $ の級数展開における $ n $ 番目の項 $ v_n $ の再帰的積分表現を導出する。
• 古典的ハミルトニアン流 $ q_t^\natural(s) $ から、伝搬子方程式を満たす変形行列 $ K_t(s) $ を構成する。
• ハミルトニアン系の基本解に関連する $ K_t(s) $ の時間微分を用いて、$ v_n $ の時間発展方程式を検証する。
• 境界項および内部項の解析を通じて、級数 $ p_t^{\text{conj}} = \sum_{n=0}^\infty v_n $ が共役化された時間発展方程式を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己随伴二次型シュレーディンガー作用素の熱核は、どのように変形公式の形で表現できるか？
• RQ2 古典的ハミルトニアン流は、共役化された核のための変形行列を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 共役化された核の小時間展開がボレル和可能となる条件は何か？
• RQ4 非自己随伴の場合において、変形公式はウィENERおよびファインマン経路積分とどのように関連するか？
• RQ5 繰り返し積分および微分作用素を含む級数展開を用いて、共役化された核を厳密に構成することは可能か？

主な発見

• 時間に依存する係数を持つ作用素 $ P_0 + c(t,x) $ の熱核 $ p_t(x,y) $ は、$ p_t^0(x,y) p_t^{\text{conj}}(x,y) $ の形に表現され、$ p_t^{\text{conj}} $ は時間の小さい範囲で収束する級数展開を持つ。
• 古典的ハミルトニアン流 $ q_t^\natural(s) $ から導かれる変形行列 $ K_t(s) $ は、系の時間発展を記述し、伝搬子方程式を満たす。
• 共役化された核 $ p_t^{\text{conj}} $ は、古典的軌道に沿って評価されたポテンシャル $ c(s_j, z_j) $ の積の繰り返し積分によって構成される。
• 変形行列の時間微分は $ \partial_t K_t(s,s') = q_t^\flat(s) A(t) {}^\mathfrak{t}q_t^\flat(s') $ を満たし、ハミルトニアン系の基本解と関連している。
• 級数 $ p_t^{\text{conj}} $ は、境界条件 $ v_n|_{t=0^+} = 0 $ を満たす時間発展方程式 $ \partial_t v_n = A(t) \cdot \partial_x^2 v_n + c(t,x) v_{n-1} $ を満たし、一貫性が保証される。
• 解は $ t \in \mathbb{C} $ に対して $ \mathcal{R}e(t) \geq 0 $ で有効であり、$ A(t), B(t), C(t) $ に対して解析的かつ実数性条件が満たされれば、原点近傍で公式は成立する。