[論文レビュー] A Deligne-Riemann-Roch isomorphism I: Preliminaries on virtual categories

Dennis Eriksson|ArXiv.org|Apr 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー論的メソッドを用いて、正確なカテゴリの仮想カテゴリを導入・分析することで、函手的で距離付けられたグロテンディーク・リーマン・ロッホ定理の基礎的道具を確立する。仮想カテゴリにアダムス作用素およびλ作用素を構成し、K₀作用素の持ち上げに関する剛性結果を証明するとともに、この枠組みをチエーン交叉関手および有理数 Chow カテゴリと結びつける。

ABSTRACT

This is the first article in an upcoming series of papers. They have arisen through an attempt to answer open questions of Deligne proposed in "Le determinant de la cohomologie", Contemp. Mathematics 67 (1987). It amounts to functorial and metrized versions of the Grothendieck-Riemann-Roch theorem, as well as a Lefschetz-Riemann-Roch formula in the sense of Thomason, cf. "Lefschetz-Riemann-Roch theorem and coherent trace formula" Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 18 (1985), Theorem 3.5. In this article we treat various preliminary results on virtual categories which are the categories where the Deligne-Riemann-Roch theorem is originally formulated. Finally we compare our constructions to constructions of Franke on Chern intersection functors and Chow categories.

研究の動機と目的

• デリーニの未解決問題にインspiredされた、函手的で距離付けられたグロテンディーク・リーマン・ロッホ定理のためのカテゴリカル枠組みを構築すること。
• K₀およびK₁の情報を捉えるK理論のホモトピー論的切断として、仮想カテゴリ V(C) を定義・研究すること。
• 仮想カテゴリにアダムス作用素 ψᵏ および λ-作用素を構成し、それらの剛性を証明することで、K₀からの作用素の持ち上げを可能にすること。
• 仮想カテゴリの構成を、特にフラーゲのチエーン関手および有理数 Chow カテゴリと比較すること。
• デリーニの滑らかな曲線に関する仕事に拡張し、将来の整数係数バージョンの函手的リーマン・ロッホ定理の土台を築くこと。

提案手法

• 小さな正確カテゴリ C に対して、BQ(C) を Quillen の Q-構成法により定義し、V(C) を ΩBQ(C) の基本群族（fundamental groupoid）として定義する。
• 単体的層モデルおよび A¹-ホモトピー論を用いて、V(C) のホモトピー的構造を分析し、特にその自己同型群が K₁(C) に同型であることを示す。
• 普遍的性質および分割原理を用いて、V(C) 上にアダムス作用素 ψᵏ および λ-作用素を構成し、それらが K₀ と整合することを証明する。
• ホモトピー代数およびモデル構造を用いて、整数を逆数にした後に、K₀ 上の作用素が V(C) に持ち上がるという剛性定理（定理 4.5）を証明する。
• サイクル論的構成を用いて、仮想カテゴリを有理数 Chow カテゴリおよびチエーン交叉関手と比較する。
• A¹-ホモトピー論および代数的スタックの結果を応用し、正則な基底上のスキームのための基礎的言語および道具を整える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想カテゴリ V(C) は、正確カテゴリのK理論のホモトピー論的精錬として、どのように体系的に構成可能か？
• RQ2 アダムス作用素およびλ作用素は仮想カテゴリにおいて果たす役割は何か？ そして、それらはK₀から一意的に持ち上げ可能か？
• RQ3 剛性結果は、整数を逆数にした後に、K₀作用素が仮想カテゴリへと拡張されることをどの程度保証するか？
• RQ4 仮想カテゴリは、例えばフラーゲのチエーン関手や有理数 Chow カテゴリといった既存の代数的K理論の構成と、どのように関係しているか？
• RQ5 この枠組みは、デリーニが求めるように、整数係数バージョンの函手的リーマン・ロッホ定理へと拡張可能か？

主な発見

• 仮想カテゴリ V(C) は、その同型類が自然に K₀(C) に一対一対応する群族（groupoid）であり、その自己同型群は K₁(C) に同型である。
• アダムス作用素 ψᵏ および λ-作用素は V(C) 上に構成され、命題 3.8 および 3.10 により K₀レベルの作用素と整合することが示された。
• 剛性結果（定理 4.5）により、λ-作用素と可換な K₀(C) 上の任意の作用素は、整数を逆数にした後に V(C) 上に持ち上がる。
• 仮想カテゴリの構成は、第5節で詳細に示されるように、有理数 Chow カテゴリおよびチエーン交叉類と整合することが示された。
• この枠組みは、特にコhomologyの行列式に関連する、リーマン・ロッホ理論における2次不変量の自然な設定を提供する。
• 関手的で距離付けられたリーマン・ロッホデータを捉えるために、仮想カテゴリのアプローチが、特に行列式関手の文脈で適していることが示された。