[論文レビュー] K-theory and cohomology of algebraic stacks: Riemann-Roch theorems, D-modules and GAGA theorems

Bertrand Toën|ArXiv.org|Aug 18, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 17

ひとこと要約

本学位論文は、代数的スタックにおけるK理論およびコホモロジーの基礎的結果を確立し、Dモジュールおよび代数的・解析的スタックのGAGA型定理に関するグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理を証明する。古典的なコホモロジー的道具—例えばリーマン・ロッホの公式、DモジュールのK理論、ホッジ理論—を、特にデリーニュ＝ムムフォードスタックを含む代数的スタックの文脈へと拡張し、ホモトピー論的代数およびスペクトル法を用いる。

ABSTRACT

This is the integral text of my thesis. The first part is an expanded version of "Riemann-Roch theorems for Deligne-Mumford stacks", where I deal with Artin stacks over general bases. In the second part, I prove some Riemann-Roch statment for D-modules on Deligne-Mumford stacks, and I also consider the problem of algebraization of analytic stacks.

研究の動機と目的

• 代数的スタックの包括的なコホモロジー的およびK理論的枠組みを構築し、スキームからの古典的結果をスタックへ一般化すること。
• 特に正則Dモジュールを含む、代数的スタック上のDモジュールの文脈におけるグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理の拡張。
• 特に複素代数的スタックに対して、代数的スタックと解析的スタックを比較するGAGA型定理の確立。
• ホッジ理論を代数的スタックへ適応し、ホッジ＝ド・ラームのスペクトル系列の退化およびシグニチャーフォーミュラの証明。
• 単体的プレシャーファイア、スペクトル法、および降下技術を用いた、スタックのK理論の体系的取り扱いの提供。

提案手法

• 一般化されたコホモロジーおよびK理論をスタックに対してモデル化するため、単体的プレシャーファイアとスペクトルを用い、導来的およびホモトピー論的構成を可能にする。
• G理論およびK理論の降下理論を適用し、特に共変および反変降下を含む、スタック的演算における不変性を確立する。
• G理論におけるデヴィッサージュ技術を、特にデリーニュ＝ムムフォードスタックおよび再帰的ガーブの文脈で用いる。
• カシワラの補題および可解関数を用いて、正則DモジュールおよびそのK理論を分析する。
• 解析的幾何およびGAGA原理を用い、特に固有および有限な準同型を通じて、代数的および解析的コホモロジーを比較する。
• ホッジ＝ド・ラームのスペクトル系列および調和形式をスタックの文脈へと持ち上げることで、デリーニュのホッジ理論的議論をスタックへ適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロタンディーク・リーマン・ロッホ定理は、特にDモジュールの文脈において、代数的スタックへどのように一般化できるか？
• RQ2 古典的GAGA定理は、スキームから代数的スタックへ、特に複素解析的設定においてどの程度拡張可能か？
• RQ3 ホッジ理論は代数的スタックへ拡張可能か？また、滑らかで複素代数的スタックに対してホッジ＝ド・ラームのスペクトル系列は退化するか？
• RQ4 K理論および係数が特徴や有理数表現であるコホモロジーは、スタックの研究において果たす役割は何か？
• RQ5 降下およびデヴィッサージュ技術は、特にデリーニュ＝ムムフォードおよびガーブの場合のスタックのG理論およびK理論にどのように適用されるか？

主な発見

• 適切な有理数性条件の下で、インertieスタックのコホモロジー（有理化K理論を係数に持つ）とインテリエスタックの有理化K理論との間に自然な同型が確立される：$ H^{-*}(I_F^t, Π K ⊗ Λ) ≅ ℚ K_*(I_F^t) ⊗ Λ(S) $。
• 滑らかで複素代数的スタックが射影的粗模様モジュライ空間を持つ場合、ホッジ＝ド・ラームのスペクトル系列は退化する。これはホッジおよびデリーニュの結果を一般化する。
• 滑らかで複素代数的スタックが射影的粗模様モジュライ空間を持つ場合、シグニチャーフォーミュラ $ σ(F) = \sum_{p,q} (-1)^p h^{p,q} $ が成り立つ。ここで $ h^{p,q} = \dim_{\mathbb{C}} H^p(F, \Omega^q_F) $ である。
• 滑らかな複素代数的スタック $ F $ のコホモロジーは、$ H^n(F^{an}, \mathbb{C}) \simeq \bigoplus_{p+q=n} H^p(F, \Omega^q_F) $ を満たし、ホッジ分解が確認される。
• 滑らかなスタック上の正則Dモジュールに対して、$ \mathbf{K}^D $理論および $ \mathbf{K}^h $コホモロジーの両方においてグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理が成り立つ。これは古典的結果の拡張である。
• 固有性および有限性の仮定の下で、滑らかな複素代数的スタックの解析的および代数的コホモロジーはGAGAにより同型である。これはセールのGAGAを一般化する。