[論文レビュー] A derivability criterion based on the existence of adjunctions

Beatriz Rodríguez González|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分解に基づくのではなく随伴の存在に基づく関手の導来可能性基準を確立し、左導来関手が右随伴を持つならば、右導来関手が存在し、それがその随伴に一致することを証明する。主な貢献はQuillen-Maltsiniotisの導来随伴定理の逆を示したことであり、これは長年のホモトピーコロイミット定義の同値性に関する疑問を解決し、dgカテゴリにおける内部ホムのToënの構成が実際にdgカテゴリ内部ホムの絶対右導来関手であることを確認する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a derivability criterion of functors based on the existence of adjunctions rather than on the existence of resolutions. It constitutes a converse of Quillen-Maltsiniotis Derived Adjunction Theorem. We present two consequences of our derivability criterion. On the one hand, we prove that the two notions for homotopy colimits corresponding to Grothendieck derivators and Quillen model categories are equivalent. On the other hand, we deduce that the internal hom for derived Morita theory constructed by B. Toen is indeed the right derived functor of the internal hom of dg-categories.

研究の動機と目的

• 分解に基づくのではなく随伴に依存する関手の新しい導来可能性基準を構築し、インジェクティブまたはK-インジェクティブ分解に基づく古典的基準の代替を提供すること。
• Quillen-Maltsiniotisの導来随伴定理の逆を提供し、左導来関手に右随伴が存在するならば右導来関手が存在することを示すこと。
• ホモトピー代数の基礎的問題を解決し、GrothendieckとQuillenによるホモトピーコロイミットの定義の同値性を証明すること。
• dgカテゴリにおける内部ホムの構成が、非分解に基づく構成であるにもかかわらず、実際にはdgカテゴリ内部ホムの絶対右導来関数であることを確認すること。

提案手法

• Dubucの反復カーン拡張に関する結果から導来可能性基準を導出し、絶対カーン拡張の存在を用いて導来関手の存在を導出する。
• 基準は、$\mathbb{L}F$ が右随伴 $G'$ を持つならば、$\mathbb{R}G$ が存在し、$G'$ に一致することを示す。ここで $F$ と $G$ は随伴関手である。
• モデル圏と導来圏に適用され、dgカテゴリおよびモデル圏のホモトピー圏における局所化と導来関手が用いられる。
• 導来テンソル積の単位の自然性を活用し、$Ho(dgcat)$ における内部ホムがdgカテゴリ内部ホムの右導来関手であることを示す。
• 随伴性と絶対カーン拡張にのみ依存することで、分解に基づく構成を避けることにより、導来関手のより構造的な特徴づけが可能になる。
• 双対性を用いて基準を右導来関手へ拡張し、導来可能性条件における対称性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解に依存せず、代わりに随伴性に基づいて導来可能性基準を定式化できるか？
• RQ2 左導来関手に右随伴が存在することは、右導来関手の存在を保証するのに十分か？
• RQ3 一般に、GrothendieckとQuillenによるホモトピーコロイミットの定義は同値か？
• RQ4 導来モラータ理論におけるToënの内部ホム $\mathcal{R}\underline{\mathrm{Hom}}(-,-)$ は、dgカテゴリ内部ホムの右導来関手か？
• RQ5 局所化されたホモトピー圏において、導来関手を随伴性のみで特徴づけられるか？

主な発見

• 本稿は、新たな導来可能性基準を確立した：$F: \mathcal{C} \rightleftarrows \mathcal{D} : G$ が随伴であり、$\mathbb{L}F$ が右随伴 $G'$ を持つならば、$\mathbb{R}G$ が存在し、$G'$ に一致する。
• 導来圏における左随伴によるホモトピーコロイミットと、モデル圏における絶対左導来関手としてのホモトピーコロイミットという2つの定義は同値である。
• Quillenの導来関手を用いて定義されたホモトピー左カーン拡張は、ホモトピーコロイミット定義の同値性の直接的結果として合成可能である。
• Toënの内部ホム $\mathcal{R}\underline{\mathrm{Hom}}(-,-)$ が $Ho(dgcat)$ 内で、dgカテゴリ内部ホムの絶対右導来関手 $\mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(-,-)$ であることが確認された。
• ホモトピー圏 $Ho(dgcat)$ 内の導来テンソル積 $- \otimes^\mathbb{L} \mathcal{B}$ は絶対左導来関手を備え、これにより $Ho(dgcat)$ が閉じた対称モノイダル圏であることが保証される。
• 単位の自然性により、内部ホム構成が導来関手と整合することを示し、それが導来関手としての役割を正当化する。