[論文レビュー] All $(\infty,1)$-toposes have strict univalent universes

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 74被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、高次の圏論およびホモトピー型理論における基礎的問題を解決する形で、任意の$(\infty,1)$-トポスが厳密なユニバーサルなユニバースを備えていることを証明している。$(\infty,1)$-圏の枠組み内で構成的アプローチを用い、著者たちは関連する圏的演算に関して厳密に閉じたユニバーサルなユニバースの存在を確立した。これにより、高次のトポス理論における型理論的構成の標準的モデルが得られる。

ABSTRACT

We prove the conjecture that any Grothendieck $(\infty,1)$-topos can be presented by a Quillen model category that interprets homotopy type theory with strict univalent universes. Thus, homotopy type theory can be used as a formal language for reasoning internally to $(\infty,1)$-toposes, just as higher-order logic is used for 1-toposes. As part of the proof, we give a new, more explicit, characterization of the fibrations in injective model structures on presheaf categories. In particular, we show that they generalize the coflexible algebras of 2-monad theory.

研究の動機と目的

• すべての$(\infty,1)$-トポスに厳密なユニバーサルなユニバースの存在を確立し、高次のトポス理論における基礎的ギャップを埋める。
• $(\infty,1)$-圏内でのユニバーサル型理論のモデル化のための構成的かつ圏論的枠組みを提供する。
• ユニバーサルなユニバースがすべての$(\infty,1)$-トポスにおいて厳密に実現可能かどうかという問題を解消する。これは、特定のモデルに依存するのではなく、一般化された状況での実現を目的とする。
• 型理論と高次のトポスの間の対応関係を拡張し、すべての$(\infty,1)$-トポスにおいてユニバーサルなユニバースが一様に利用可能であることを保証する。

提案手法

• $(\infty,1)$-圏の理論および$(\infty,1)$-トポスの内部言語を用いて、ユニバース構成を分析する。
• ユニバーサルなファイブレーションおよびその普遍的性質を用いて、内部論理内での厳密なユニバーサルなユニバースを定義する。
• 依存和および依存積に関してのユニバーサル性と厳密な閉包性を保証するコリフレクションまたは局所化ファンクターを用いてユニバースを構成する。
• $(\infty,1)$-トポスにおけるオブジェクト分類子の存在や、型理論的演算の整合性といった、高次のトポス理論の結果を応用する。
• すべての$(\infty,1)$-トポスがプレゼンタブルで、局所的にカルテジアン閉じており、イデムポテンツな完備性を持つことを利用し、必要な普遍的ファミリーの存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の$(\infty,1)$-トポスは、依存和および依存積の圏的演算に関して厳密に閉じたユニバーサルなユニバースを備えているか？
• RQ2 $(\infty,1)$-トポスにおけるユニバーサルなユニバースの構成は、すべてのこのような圏において一貫的かつ一様に行えるか？
• RQ3 追加の仮定やモデル特有の構成を必要とせずに、ユニバーサル型理論をすべての$(\infty,1)$-トポスに実現することは可能か？
• RQ4 $(\infty,1)$-トポスの内部論理は、厳密なユニバーサルなユニバースの存在をどのように支援するか？

主な発見

• すべての$(\infty,1)$-トポスは、依存和および依存積に関して厳密に閉じたユニバーサルなユニバースを備えている。
• ユニバーサルなユニバースは、$(\infty,1)$-トポスの内部論理においてユニバーサル性条件を満たすファイブレーション族として構成される。
• この構成は一意的であり、$(\infty,1)$-トポスの公理を越えた追加の仮定は必要としない。
• このようなユニバースの存在により、任意の$(\infty,1)$-トポスの内部型理論が、厳密かつ整合的かつ一貫した形でユニバーサル型理論を正当化する。