[論文レビュー] A desingularization of Kontsevich's compactification of twisted cubics in $V_5$

Kiryong Chung|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Simpsonのモジュライ空間から出発する重み付き爆破の列を用いて、del Pezzo 3-fold $V_5$ 内のねじれ立方曲線のKontsevichのコンパクト化の特異点を解消する。主な結果として、得られる空間がKontsevichの元の空間の交差コホモロジーを誘導し、明示的なPoincaré多項式 $1+3t^2+8t^4+10t^6+8t^8+3t^{10}+t^{12}$ を持つことにより、有理的特異点をもつ最小解消としての役割が裏付けられる。

ABSTRACT

By definition, the del Pezzo $3$-fold $V_5$ is the intersection of $\\mathrm{Gr}(2,5)$ with three hyperplanes in $\\mathbb{P}^9$ under the Pl\\"ucker embedding. Rational curves in $V_5$ have been studied in various contents of Fano geometry. In this paper, we propose an explicit birational relation of the Kontsevich and Simpson compactifications of twisted cubic curves in $V_5$. As a direct corollary, we obtain a desingularized model of Kontsevich compactification which induces the intersection cohomology group of Kontsevich's space.

研究の動機と目的

• del Pezzo 3-fold $V_5$ 内のねじれ立方曲線のKontsevichのコンパクト化の特異点を解消すること。これは、標準的な比較条件を満たさない。
• 通常の幾何的条件が成立しない状況下で、SimpsonとKontsevichのコンパクト化の間の双有理同値性を確立すること。
• Kontsevich空間の交差コホモロジーを実現する、小解消としての特異点解消モデルを構成すること。
• モチーフ的および双有理的技法を用いて、Kontsevichモジュライ空間の交差コホモロジーPoincaré多項式を計算すること。

提案手法

• Simpsonモジュライ空間 $\mathbf{S}(V_5,3)$ から出発し、構造層の逆押し出しを用いてKontsevich空間 $\mathbf{M}(V_5,3)$ への双有理写像を構成する。
• 特異点解消は、まず $\bar{\Theta}_1$ に沿った、次に $\bar{\Theta}_2$ に沿った2段階の重み付き爆破によって達成される。ここで $\bar{\Theta}_1 \subset \bar{\Theta}_2$ である。
• $\bar{\Theta}_1$ および $\bar{\Theta}_2$ が滑らかであることが示され、それぞれ $\bar{\Theta}_1 \cong \mathbb{P}^1$ および $\bar{\Theta}_2 \cong \mathrm{Fl}(1,2;\mathbb{C}^3)$ と同型である。
• 特異点除きの軌跡は、重み付き射影バンドルとして記述される：$\mathrm{bl}_{\mathbb{P}^1}\mathrm{Fl}(1,2;\mathbb{C}^3)$ 上の $\mathbb{P}_{(1,2,2)}^2$-バンドルおよび $\bar{\Theta}_1$ 上の $\mathbb{P}_{(1,2,2,3,3)}^4$-バンドル。
• 双有理写像 $\widetilde{\Psi}^I$ が小であることが示され、解消の仮想Poincaré多項式が、標的空間の交差Poincaré多項式と一致することを保証する。
• 最終的なPoincaré多項式は、モチーフ的性質およびGrassmann多様体や重み付き射影空間の既知の公式を用いて計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な比較条件が成立しない状況下で、$V_5$ 内のねじれ立方曲線のKontsevichコンパクト化の解消が可能か？
• RQ2 SimpsonとKontsevichのねじれ立方曲線モジュライ空間の間には、特異点を解消する双有理写像が存在するか？
• RQ3 得られる解消が、元のKontsevich空間の交差コホモロジーを誘導するか？
• RQ4 $\mathbf{M}(V_5,3)$ の明示的な交差コホモロジーPoincaré多項式は何か？

主な発見

• $\mathbf{M}(V_5,3)$ は非連結であり、2つの成分を持つ：滑らかなねじれ立方曲線の閉包と、直線のヒルベルト添付の上への相対的安定写像空間。
• Simpson空間 $\mathbf{S}(V_5,3)$ は連結であり、$\mathrm{Gr}(2,5)$ に同型であり、$V_5$ の2次式による定義方程式のおかげで $\mathcal{H}(V_5,3) \cong \mathcal{S}(V_5,3)$ が成り立つ。
• 2次錐上の3重直線の集合 $\bar{\Theta}_1$ は $\mathbb{P}^1$ に同型であり、2本の直線のペアの集合 $\bar{\Theta}_2$ はフラッグ多様体 $\mathrm{Fl}(1,2;\mathbb{C}^3)$ に同型である。
• 最初の爆破の特異点除きは、$\bar{\Theta}_1$ 上の $\mathrm{bl}_{\mathbb{P}^1}\mathbb{P}_{(1,2,2,3,3)}^4$-バンドルであり、2番目の爆破は $\bar{\Theta}_2$ を $\bar{\Theta}_1$ に沿って爆破した空間上の $\mathbb{P}_{(1,2,2)}^2$-バンドルである。
• 双有理写像 $\widetilde{\Psi}^I$ は小であるため、解消の仮想Poincaré多項式は $\mathbf{M}(V_5,3)$ の交差Poincaré多項式と一致する。
• Kontsevichモジュライ空間 $\mathbf{M}(V_5,3)$ の交差コホモロジーPoincaré多項式は $1+3t^2+8t^4+10t^6+8t^8+3t^{10}+t^{12}$ である。