[論文レビュー] Rational curves and instantons on the Fano threefold $Y_5$

Giangiacomo Sanna|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{Gr}(2,5)$ の線形切断であるファノ3次元多様体 $Y_5$ 上のインスタントン bundle を調査し、$Y_5$ 上の有理曲線の古典的幾何学に対して新しい証明を提供するとともに、$Y_5$ 上の円錐曲線におけるインスタントンのための新しいグラウエルト–ミュリッヒの定理を確立する。電荷2および3のインスタントンのための $SL_2$-等変記述を構成し、最小電荷のインスタントンが一意に存在することを証明し、電荷3インスタントンのための特異点の小さな解消を伴うコンパactificationを提供する。

ABSTRACT

This thesis is an investigation of the moduli spaces of instanton bundles on the Fano threefold $Y_5$ (a linear section of $\mathbb{G}r(2,5)$). It contains new proofs of classical facts about lines, conics and cubics on $Y_5$, and about linear sections of $Y_5$. The main original results are a Grauert-Mülich theorem for the splitting type of instantons on conics, a bound to the splitting type of instantons on lines and an $SL_2$-equivariant description of the moduli space in charge 2 and 3. Using these results we prove the existence of a unique $SL_2$-equivariant instanton of minimal charge and we show that for all instantons of charge 2 the divisor of jumping lines is smooth. In charge 3, we provide examples of instantons with reducible divisor of jumping lines. Finally, we construct a natural compactification for the moduli space of instantons of charge 3, together with a small resolution of singularities for it.

研究の動機と目的

• ファノ3次元多様体 $Y_5$ 上の有理曲線（直線、円錐曲線、三次曲線）の幾何を研究すること。$Y_5$ は $\mathrm{Gr}(2,5)$ の線形切断である。
• $\mathbb{P}^3$ におけるインスタントン理論の古典的理論を $Y_5$ に拡張すること。特に、モジュライ空間とジャンピング・ローカスに焦点を当てる。
• $Y_5$ 上の電荷2および3のインスタントンのモジュライ空間の $SL_2$-等変記述を確立すること。
• 電荷3インスタントンのモジュライ空間の自然なコンパクト化を構成し、特異点の小さな解消を与えること。
• インスタントンが円錐曲線および直線に制限された場合のグラウエルト–ミュリッヒの定理を検証・拡張すること。

提案手法

• ベイリソンスペクトル系列およびモノイド構成を用いて、$Y_5$ 上の標準束 $\mathcal{U}$ を含む複体の中間コホロジーとしてインスタントンを表現する。
• フーリエ–ムカイ変換 $\Phi_{\mathrm{Bl}}$ を適用し、$Y_5$ の線形切断をグラスマン多様体上のモジュライ問題に関連付ける。
• コシュール複体および基底変換技術を用いて、余次元2以上の部分スキームおよび層の族を分析する。
• $SL_2$-等変幾何を用いて、相対グラスマン多様体への埋め込みを通じて、電荷2および3のインスタントンのモジュライ空間を記述する。
• フラッグ多様体の構成および射影公式を用いて、コンパクト化されたモジュライ空間 $\overline{\mathcal{MI}}_3$ の特異点の解消を構成する。
• シュール関手および外冪の層へのフィルトレーションを用いて、解消過程における高次直接像の消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インスタントン bundle のモジュライ空間の構造、特に低電荷の場合にはどうなるか？
• RQ2 インスタントンのジャンピング直線および円錐曲線は $Y_5$ 上でどのように振る舞い、どのような制約を課えるか？
• RQ3 電荷2および3のインスタントンのモジュライ空間に対して $SL_2$-等変記述を構成できるか？
• RQ4 電荷2および3のインスタントンのジャンピング直線の除数の性質は何か？
• RQ5 電荷3インスタントンのモジュライ空間に対して、特異点の小さな解消を伴う自然なコンパクト化を構成できるか？

主な発見

• インスタントンが $Y_5$ 上の円錐曲線に制限されたときの分裂型について、新しいグラウエルト–ミュリッヒの定理が確立された。
• インスタントンが $Y_5$ 上の直線に制限されたときの分裂型についての上限が導出され、古典的結果が精緻化された。
• 電荷2のインスタントンのモジュライ空間には一意の $SL_2$-等変構造が存在し、ジャンピング直線の除数は滑らかであることが示された。
• 電荷3の場合、ジャンピング・ローカスが非連結であるインスタントンの例が構成され、電荷2の場合とは異なる挙動が示された。
• 電荷3インスタントンのモジュライ空間の自然なコンパクト化 $\overline{\mathcal{MI}}_3$ が構成され、特異点の小さな解消が明示的に与えられた。
• 最小電荷（電荷2）の $SL_2$-等変インスタントンが一意に存在することを、モジュライ空間の $SL_2$-等変構造を用いて証明した。