[論文レビュー] A Deterministic Almost-Linear Time Algorithm for Minimum-Cost Flow

Jan van den Brand, Li Chen+6 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2023

Complexity and Algorithms in GraphsComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多項式的に有界な容量、コスト、需要をもつ有向グラフにおける最小費用流および最大流の、初めての決定的ほぼ線形時間アルゴリズムを提示する。本稿は、低ストレッチ全域木とスパーススパナーを維持する決定的動的グラフデータ構造を導入することで、$ m^{1+o(1)} $ の実行時間を達成し、ランダムネスを用いずに近似最小比サイクルを効率的に計算可能にする。

ABSTRACT

We give a deterministic $m^{1+o(1)}$ time algorithm that computes exact maximum flows and minimum-cost flows on directed graphs with $m$ edges and polynomially bounded integral demands, costs, and capacities. As a consequence, we obtain the first running time improvement for deterministic algorithms that compute maximum-flow in graphs with polynomial bounded capacities since the work of Goldberg-Rao [J.ACM '98]. Our algorithm builds on the framework of Chen-Kyng-Liu-Peng-Gutenberg-Sachdeva [FOCS '22] that computes an optimal flow by computing a sequence of $m^{1+o(1)}$-approximate undirected minimum-ratio cycles. We develop a deterministic dynamic graph data-structure to compute such a sequence of minimum-ratio cycles in an amortized $m^{o(1)}$ time per edge update. Our key technical contributions are deterministic analogues of the vertex sparsification and edge sparsification components of the data-structure from Chen et al. For the vertex sparsification component, we give a method to avoid the randomness in Chen et al. which involved sampling random trees to recurse on. For the edge sparsification component, we design a deterministic algorithm that maintains an embedding of a dynamic graph into a sparse spanner. We also show how our dynamic spanner can be applied to give a deterministic data structure that maintains a fully dynamic low-stretch spanning tree on graphs with polynomially bounded edge lengths, with subpolynomial average stretch and subpolynomial amortized time per edge update.

研究の動機と目的

• 多項式的に有界な容量をもつグラフにおける最大流の決定的アルゴリズムとランダムアルゴリズムの間の長年のギャップを埋める。
• Chenらによる最近の最小費用流の $ m^{1+o(1)} $ 時間のランダム化フレームワークを決定的に実装すること。
• 従来、ランダムサンプリングと木埋め込みに依存していた、キーコンponentである頂点スプライシフィケーションとエッジスプライシフィケーションのランダムネスを排除すること。
• 部分多項式平均更新時間で低ストレッチ全域木を維持する決定的動的データ構造を開発すること。
• 流体計算に使用するための、部分多項式ストレッチおよび部分多項式更新時間を持つ完全動的スパナーを構築すること。

提案手法

• エッジ変更ごとに部分多項式ストレッチおよび部分多項式平均更新時間で、元のグラフのスパーススパナーを維持する決定的動的グラフデータ構造を設計する。
• 先行研究におけるランダム化された頂点スプライシフィケーションを、木分解と頂点サンプリングに基づくランダムネスを含まない再帰的メソッドに置き換える。
• 動的グラフをスパーススパナーに埋め込むことを維持する、決定的ツリー・チェーン構築に基づく新規なエッジスプライシフィケーション技術を導入する。
• シフトされたツリー・チェーンを用いて低ストレッチフォレストを維持し、流体計算中のサイクル品質分析を効率的に行う。
• 動的低ストレッチフォレストデータ構造におけるストレッチと更新コストのバランスを取るために、乗法的重みを適用する。
• 動的スパナーと低ストレッチフォレストをサイクル近似フレームワークに統合し、決定的に最小比サイクルを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chenらによるランダム化 $ m^{1+o(1)} $ 時間の最大流アルゴリズムを、ほぼ線形時間の複雑さを保ちつつ決定的化することは可能か？
• RQ2 動的グラフデータ構造におけるランダム化された頂点およびエッジスプライシフィケーションの代替として、決定的手段は存在するか？
• RQ3 部分多項式平均更新時間で、完全に動的である低ストレッチ全域木を決定的に維持することは可能か？
• RQ4 流体アルゴリズムに使用するための、部分多項式ストレッチおよび部分多項式更新コストを持つ決定的スパナーを構築することは可能か？
• RQ5 サイクル近似フレームワークの決定的化が、最小費用流計算全体の実行時間に与える影響は何か？

主な発見

• 本稿は、多項式的に有効な容量、コスト、需要をもつ有向グラフにおける正確な最大流および最小費用流を計算する決定的 $ m^{1+o(1)} $ 時間アルゴリズムを達成した。
• 本アルゴリズムは、一般の場合における決定的最大流の長年の $ ilde{O}(m imes ext{min}igrace{m^{1/2}, n^{2/3}}igrace{}) $ 実行時間（Goldberg-Rao, 1998）を改善した。
• 部分多項式ストレッチおよびエッジ更新ごとの部分多項式平均更新時間を持つスパーススパナーを維持する決定的動的グラフデータ構造を構築した。
• 部分多項式平均ストレッチおよび部分多項式平均更新コストを持つ決定的動的低ストレッチフォレストを構築した。
• フレームワークにより、$ m^{1+o(1)} $-近似の無向最小比サイクルを決定的に計算可能となり、これが最小費用流の正確な解法に使用された。
• 結果として、決定的アルゴリズムが最小費用流においてほぼ線形時間で達成可能であることが確立され、この分野におけるランダムと決定的計算複雑度の主要なギャップが埋まった。