[論文レビュー] A deterministic polynomial time algorithm for non-commutative rational identity testing with applications

Ankit Garg, Leonid Gurvits+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可換変数上の記号的行列の可逆性をテストする最初の決定的多項式時間アルゴリズムを提示し、長年の未解決問題を解決する。Gurvitsのアルゴリズムの多項式時間実行を保証するための、演算子容量に関する新しい下界を分析・証明することにより、非可換恒等式テスト、自由斜交体における単語問題、除算を含む算術式の評価において、効率的な解決策が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we present a deterministic polynomial time algorithm for testing if a symbolic matrix in non-commuting variables over $\mathbb{Q}$ is invertible or not. The analogous question for commuting variables is the celebrated polynomial identity testing (PIT) for symbolic determinants. In contrast to the commutative case, which has an efficient probabilistic algorithm, the best previous algorithm for the non-commutative setting required exponential time (whether or not randomization is allowed). The algorithm efficiently solves the word for the free skew field, and the identity testing problem for arithmetic formulae with division over non-commuting variables, two problems which had only exponential-time algorithms prior to this work. The main contribution of this paper is a complexity analysis of an existing algorithm due to Gurvits, who proved it was polynomial time for certain classes of inputs. We prove it always runs in polynomial time. The main component of our analysis is a simple (given the necessary known tools) lower bound on central notion of capacity of operators (introduced by Gurvits). We extend the algorithm to actually approximate capacity to any accuracy in polynomial time, and use this analysis to give quantitative bounds on the continuity of capacity (the later is used in a subsequent paper on Brascamp-Lieb inequalities). Symbolic matrices in non-commuting variables, and the related structural and algorithmic questions, have a remarkable number of diverse origins and motivations. They arise independently in (commutative) invariant theory and representation theory, linear algebra, optimization, linear system theory, quantum information theory, approximation of the permanent and naturally in non-commutative algebra. We provide a detailed account of some of these sources and their interconnections.

研究の動機と目的

• 非可換変数上の ℚ 上の記号的行列の可逆性をテストする決定的多項式時間アルゴリズムの開発。
• Gurvitsの非可換有理恒等式テストのためのアルゴリズムの計算量を解明し、すべての入力に対して常に多項式時間で実行されることを証明すること。
• 自由斜交体における単語問題および非可換変数における除算を含む算術式の恒等式テストに対する効率的解決策を提供すること。
• Gurvitsのフレームワークの中心的量である線形作用素の容量に関する下界を確立し、実行時間解析を可能にする。
• 任意の精度にまで作用素の容量を多項式時間で近似できるようにアルゴリズムを拡張し、Brascamp-Lieb不等式への応用における連続性の境界を導出すること。

提案手法

• 非可換有理恒等式テストのためのGurvitsの既存アルゴリズムを適応・分析し、すべての入力に対して多項式時間で実行されることを証明する。
• Gurvitsの手法の中心的である作用素の容量に関する新しい下界を導入し、多項式実行時間の保証を確立する。
• 容量の下界を用いて、入力構造に依存せず、アルゴリズムが常に多項式時間で実行されることを証明する。
• 作用素の容量を任意の精度まで多項式時間で近似できるようにアルゴリズムを拡張する。
• 近似アルゴリズムから得られる容量の連続性を活用し、Brascamp-Lieb不等式への応用を支援する。
• このフレームワークを用いて、自由斜交体における単語問題および非可換算術回路の恒等式テストを解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換変数上の記号的行列の可逆性をテストする決定的多項式時間アルゴリズムを構築可能か？
• RQ2 Gurvitsの非可換有理恒等式テストのためのアルゴリズムは、常に多項式時間で実行されるのか、それとも制限された入力クラスでのみそうか？
• RQ3 自由斜交体における単語問題の計算量は何か？ そして、効率的に解けるか？
• RQ4 非可換アルゴリズムの多項式時間解析を可能にするように、線形作用素の容量を下から抑えられるか？
• RQ5 作用素の容量を任意の精度まで多項式時間で近似可能か？ そして、その結果、連続性の境界にどのような意味があるか？

主な発見

• 本稿は、非可換変数上の記号的行列の可逆性をテストする最初の決定的多項式時間アルゴリズムを提示する。
• Gurvitsの非可換有理恒等式テストのためのアルゴリズムが、特別な場合に限らず、すべての入力に対して多項式時間で実行されることを証明する。
• 従来は指数時間しか解けなかった自由斜交体における単語問題を、本アルゴリズムは効率的に解ける。
• 非可換変数における除算を含む算術式の恒等式テストに対しても、効率的な解決策を提供する。これは従来、指数時間でのみ解けた問題である。
• アルゴリズムの多項式実行時間の証明に不可欠な、作用素容量に関する新しい下界を確立する。
• アルゴリズムは、任意の所望の精度まで作用素の容量を多項式時間で近似でき、この結果、容量の定量的連続性境界が得られる。