[論文レビュー] A DGFEM for Uniformly Elliptic Two Dimensional Oblique Boundary Value Problems

Ellya L. Kawecki|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、曲がった領域における非発散型形式の2次元一様楕円型偏微分方程式に対して、斜交境界条件を満たす、新しい不連続ガラーキン有限要素法（DGFEM）を提案する。この手法は最適収束率を達成し、境界条件における整合性定数を一貫して近似可能であり、先行研究のディリクレ条件からより一般的な斜交条件へと拡張されたものであり、厳密な安定性および誤差解析を伴う。

ABSTRACT

In this paper we present and analyse a discontinuous Galerkin finite element method (DGFEM) for the approximation of solutions to elliptic partial differential equations in nondivergence form, with oblique boundary conditions, on curved domains. In "E. Kawecki, \emph{A DGFEM for Nondivergence Form Elliptic Equations with Cordes Coefficients on Curved Domains}", the author introduced a DGFEM for the approximation of solutions to elliptic partial differential equations in nondivergence form, with Dirichlet boundary conditions. In this paper, we extend the framework further, allowing for the oblique boundary condition. The method also provides an approximation for the constant occurring in the compatibility condition for the elliptic problems that we consider.

研究の動機と目的

• 非発散型形式の楕円型PDEにおけるディリクレ条件から斜交境界条件への不連続ガラーキン有限要素法（DGFEM）の拡張を図ること。
• 曲がった2次元領域における一様楕円型方程式に対して安定かつ収束する数値スキームの開発。
• 非同次Neumann型制約を伴う問題に現れる境界条件における整合性定数の近似。
• 多項式次数およびメッシュ細分化に関して最適誤差推定を確立すること、特にSobolev正則性が限定的であっても同様に有効であること。
• 線形化を用いた非線形PDE（例：Monge–Ampère方程式やHamilton–Jacobi–Bellman方程式）を解くための基盤を提供すること。

提案手法

• 非発散型形式PDEに特化した不連続ガラーキン型フォーミュレーションを採用し、破損Sobolev空間と要素界面における数値フラックスを用いる。
• 多項式写像を用いて曲がった境界を正確に表現する曲線三角形要素を採用し、幾何的一致性を確保する。
• 斜交境界条件は、方向ベクトル場 $\beta$ における方向微分を組み込んだ数値フラックスにより弱く強制する。
• 離散的安定性を保証し、要素境界における勾配のジャンプを制御するための安定化項を導入する。
• 境界条件における斜交条件を弱く強制する変分フォーミュレーションを組み込み、境界条件における定数の近似を可能にする。
• 理論的解析にはCordes型条件およびMiranda–Talenti型推定を用い、破損 $H^2$-セミノルムにおける最適誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非発散型形式楕円型PDEに対して、曲がった領域における斜交境界条件を満たすDGFEMを構築・解析可能か？
• RQ2 提案手法のDGFEMは、多項式次数およびメッシュ細分化に関して最適収束率を達成するか？
• RQ3 有限要素フレームワーク内において、斜交境界条件における整合性定数を一貫して近似可能か？
• RQ4 適応的メッシュ細分化を用いた場合、Sobolev正則性が低下（例：$u \in H^{5/2 - \delta}$）した場合に収束に与える影響は？
• RQ5 本手法は高次元の斜交境界値問題へ拡張可能か？また、その理論的障壁は何か？

主な発見

• DGFEMは多項式次数 $p$ に対して破損 $H^2$-セミノルムにおいて最適収束率 $\mathcal{O}(h^p)$ を達成し、$p=2,3,4$ について数値的に確認された。
• 解の正則性が低下する原点付近にメッシュを細かく refining する適応メッシュを用いた場合、$p=3$ および $p=4$ では収束率が $\mathcal{O}(\text{ndofs}^{-1/4})$ から $\mathcal{O}(\text{ndofs}^{-1/2})$ に向上した。
• $p=2$ の場合、収束率は $\mathcal{O}(\text{ndofs}^{-1/4})$ のまま維持され、解の正則性が制限されていることに一致する。
• 本手法は、斜交境界条件における整合性定数を一貫して近似可能であり、問題の適切な定式化に不可欠である。
• 離散的 inf-sup 条件を用いた安定性が証明され、数値解の存在および一意性が保証された。
• 数値実験により、$H^1$-セミノルムおよび $H^2$-セミノルムにおいて最適収束率が確認された。これは、正則性仮定が緩い場合でも成立する。